Theorem 2zrngmmgm 44211

Description: R is a (multiplicative) magma. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngmmgm	⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngmmgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
2	1	rexbidv 3297	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
3		2zrng.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
4	2, 3	elrab2 3682	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
5		eqeq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
6	5	rexbidv 3297	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
7	6, 3	elrab2 3682	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
8		zmulcl 12025	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
9	8	ad2ant2r 745	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
10		nfv 1911	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℤ
11		nfv 1911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℤ
12		nfre1 3306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)
13	11, 12	nfan 1896	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))
14		nfv 1911	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)
15	13, 14	nfim 1893	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
16	10, 15	nfim 1893	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
17		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
18		simpl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℤ)
19		zmulcl 12025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑏) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑥 · 𝑏) ∈ ℤ)
21		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · 𝑏) → (2 · 𝑦) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
22	21	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · 𝑏) → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏))))
23	22	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) ∧ 𝑦 = (𝑥 · 𝑏)) → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏))))
24		oveq1 7157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 · 𝑏) = ((2 · 𝑥) · 𝑏))
25	24	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) = ((2 · 𝑥) · 𝑏))
26		2cnd 11709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
27		zcn 11980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
28	27	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 𝑥 ∈ ℂ)
29		zcn 11980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
30	29	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℂ)
31	30	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → 𝑏 ∈ ℂ)
32	26, 28, 31	mulassd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ((2 · 𝑥) · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
33	25, 32	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) = (2 · (𝑥 · 𝑏)))
34	20, 23, 33	rspcedvd 3625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
35	34	exp41 437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))))
36	16, 35	rexlimi 3315	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥) → (𝑎 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))))
37	36	impcom 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
38	37	imp 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
39		eqeq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
40	39	rexbidv 3297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
41	40, 3	elrab2 3682	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)))
42		oveq2 7158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
43	42	eqeq2d 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
44	43	cbvrexvw 3450	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦))
45	44	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
46	41, 45	bitri 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑎 · 𝑏) = (2 · 𝑦)))
47	9, 38, 46	sylanbrc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥))) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
48	4, 7, 47	syl2anb 599	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
49	48	rgen2 3203	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸
50	3	0even 44196	. . 3 ⊢ 0 ∈ 𝐸
51		2zrngmmgm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
52		2zrngbas.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
53	3, 52	2zrngbas 44201	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
54	51, 53	mgpbas 19239	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
55	3, 52	2zrngmul 44210	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
56	51, 55	mgpplusg 19237	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
57	54, 56	ismgmn0 17848	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝐸 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸))
58	50, 57	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐸)
59	49, 58	mpbir 233	1 ⊢ 𝑀 ∈ Mgm

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   · cmul 10536  2c2 11686  ℤcz 11975   ↾_s cress 16478  Mgmcmgm 17844  mulGrpcmgp 19233  ℂ_fldccnfld 20539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-mgm 17846  df-mgp 19234  df-cnfld 20540

This theorem is referenced by:  2zrngmsgrp  44212