Theorem 2zrngnmlid 41210

Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngnmlid	⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∃𝑎 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2	1	2even 41194	. . . 4 ⊢ 2 ∈ 𝐸
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 2 ∈ 𝐸)
4		oveq2 6613	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑏 · 𝑎) = (𝑏 · 2))
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → 𝑎 = 2)
6	4, 5	neeq12d 2857	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑎 = 2) → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
8		elrabi 3347	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 11427	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
10	9, 1	eleq2s 2722	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
11	1	1neven 41193	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∉ 𝐸
12		elnelne2 2910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
13	11, 12	mpan2 706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ≠ 1)
14	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ≠ 1)
15		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
16		2cnd 11038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
17		2ne0 11058	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
19	15, 16, 18	divcan4d 10752	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) = 𝑏)
20		2cnne0 11187	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
21		divid 10659	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 / 2) = 1)
22	20, 21	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 / 2) = 1)
23	14, 19, 22	3netr4d 2873	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2))
24	15, 16	mulcld 10005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ∈ ℂ)
25	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
26		div11 10658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 · 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
27	24, 16, 25, 26	syl3anc 1323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
28	27	biimprd 238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) = 2 → ((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2)))
29	28	necon3d 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2) → (𝑏 · 2) ≠ 2))
30	23, 29	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ≠ 2)
31	10, 30	mpdan 701	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → (𝑏 · 2) ≠ 2)
32	3, 7, 31	rspcedvd 3307	. 2 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → ∃𝑎 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎)
33	32	rgen 2922	1 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∃𝑎 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796   ∉ wnel 2899  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886   / cdiv 10629  2c2 11015  ℤcz 11322   ↾_s cress 15777  mulGrpcmgp 18405  ℂ_fldccnfld 19660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323

This theorem is referenced by:  2zrngnring  41213