Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngnmrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngnmrid 41254
 Description: R has no multiplicative (right) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
2zrngmmgm.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
2zrngnmrid 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmrid
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4289 . . . 4 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ↔ (𝑎𝐸𝑎 ≠ 0))
2 eqeq1 2625 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
32rexbidv 3045 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
4 2zrng.e . . . . . . 7 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
53, 4elrab2 3349 . . . . . 6 (𝑎𝐸 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)))
6 zcn 11329 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
76adantr 481 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑎 = (2 · 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℂ)
85, 7sylbi 207 . . . . 5 (𝑎𝐸𝑎 ∈ ℂ)
98anim1i 591 . . . 4 ((𝑎𝐸𝑎 ≠ 0) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
101, 9sylbi 207 . . 3 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
11 eqeq1 2625 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
1211rexbidv 3045 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑏 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
1312, 4elrab2 3349 . . . . 5 (𝑏𝐸 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)))
14 zcn 11329 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
1514adantr 481 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑏 = (2 · 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℂ)
1613, 15sylbi 207 . . . 4 (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)
1716ancli 573 . . 3 (𝑏𝐸 → (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ))
1841neven 41236 . . . . . . 7 1 ∉ 𝐸
19 elnelne2 2904 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
2018, 19mpan2 706 . . . . . 6 (𝑏𝐸𝑏 ≠ 1)
2120ad2antrl 763 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑏 ≠ 1)
22 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
2322anim2i 592 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
24 3anass 1040 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)))
25 ancom 466 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
2624, 25bitri 264 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
2723, 26sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
28 divcan3 10658 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = 𝑏)
30 divid 10661 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
3130adantr 481 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
3221, 29, 313netr4d 2867 . . . 4 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎))
33 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
34 mulcl 9967 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
3533, 22, 34syl2an 494 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ)
3633adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
37 simpl 473 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0))
38 div11 10660 . . . . . . 7 (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
4039biimprd 238 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) = 𝑎 → ((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) = (𝑎 / 𝑎)))
4140necon3d 2811 . . . 4 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (((𝑎 · 𝑏) / 𝑎) ≠ (𝑎 / 𝑎) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎))
4232, 41mpd 15 . . 3 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
4310, 17, 42syl2an 494 . 2 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎)
4443rgen2 2969 1 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∉ wnel 2893  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  {crab 2911   ∖ cdif 3553  {csn 4150  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  ℂcc 9881  0cc0 9883  1c1 9884   · cmul 9888   / cdiv 10631  2c2 11017  ℤcz 11324   ↾s cress 15785  mulGrpcmgp 18413  ℂfldccnfld 19668 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-n0 11240  df-z 11325 This theorem is referenced by:  2zrngnmlid2  41255
 Copyright terms: Public domain W3C validator