Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 37prm 16030
 Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm 37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 11502 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 7nn 11382 . . 3 7 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11710 . 2 37 ∈ ℕ
4 8nn0 11507 . . . 4 8 ∈ ℕ0
5 4nn0 11503 . . . 4 4 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11704 . . 3 84 ∈ ℕ0
7 7nn0 11506 . . 3 7 ∈ ℕ0
8 1nn0 11500 . . 3 1 ∈ ℕ0
9 7lt10 11867 . . 3 7 < 10
10 8nn 11383 . . . 4 8 ∈ ℕ
11 3lt10 11871 . . . 4 3 < 10
1210, 5, 1, 11declti 11738 . . 3 3 < 84
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 11724 . 2 37 < 841
14 3nn 11378 . . 3 3 ∈ ℕ
15 1lt10 11873 . . 3 1 < 10
1614, 7, 8, 15declti 11738 . 2 1 < 37
17 3t2e6 11371 . . 3 (3 · 2) = 6
18 df-7 11276 . . 3 7 = (6 + 1)
191, 1, 17, 18dec2dvds 15969 . 2 ¬ 2 ∥ 37
20 2nn0 11501 . . . 4 2 ∈ ℕ0
218, 20deccl 11704 . . 3 12 ∈ ℕ0
22 1nn 11223 . . 3 1 ∈ ℕ
23 6nn0 11505 . . . 4 6 ∈ ℕ0
24 6p1e7 11348 . . . 4 (6 + 1) = 7
25 eqid 2760 . . . . 5 12 = 12
26 0nn0 11499 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
27 3cn 11287 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
2827mulid1i 10234 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
2928oveq1i 6823 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
3027addid1i 10415 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3129, 30eqtri 2782 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 3
3223dec0h 11714 . . . . . 6 6 = 06
3317, 32eqtri 2782 . . . . 5 (3 · 2) = 06
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 11781 . . . 4 (3 · 12) = 36
351, 23, 24, 34decsuc 11727 . . 3 ((3 · 12) + 1) = 37
36 1lt3 11388 . . 3 1 < 3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 15338 . 2 ¬ 3 ∥ 37
38 2nn 11377 . . 3 2 ∈ ℕ
39 2lt5 11394 . . 3 2 < 5
40 5p2e7 11357 . . 3 (5 + 2) = 7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 15971 . 2 ¬ 5 ∥ 37
42 5nn0 11504 . . 3 5 ∈ ℕ0
43 7t5e35 11843 . . . 4 (7 · 5) = 35
441, 42, 20, 43, 40decaddi 11771 . . 3 ((7 · 5) + 2) = 37
45 2lt7 11405 . . 3 2 < 7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 15338 . 2 ¬ 7 ∥ 37
478, 22decnncl 11710 . . 3 11 ∈ ℕ
48 4nn 11379 . . 3 4 ∈ ℕ
49 eqid 2760 . . . 4 11 = 11
5027mulid2i 10235 . . . 4 (1 · 3) = 3
5150oveq1i 6823 . . . . 5 ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
5248nncni 11222 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
53 4p3e7 11355 . . . . . 6 (4 + 3) = 7
5452, 27, 53addcomli 10420 . . . . 5 (3 + 4) = 7
5551, 54eqtri 2782 . . . 4 ((1 · 3) + 4) = 7
568, 8, 5, 49, 1, 50, 55decrmanc 11768 . . 3 ((11 · 3) + 4) = 37
57 4lt10 11870 . . . 4 4 < 10
5822, 8, 5, 57declti 11738 . . 3 4 < 11
5947, 1, 48, 56, 58ndvdsi 15338 . 2 ¬ 11 ∥ 37
608, 14decnncl 11710 . . 3 13 ∈ ℕ
61 eqid 2760 . . . . 5 13 = 13
62 2cn 11283 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
6362mulid2i 10235 . . . . 5 (1 · 2) = 2
6420, 8, 1, 61, 23, 63, 17decmul1 11777 . . . 4 (13 · 2) = 26
65 2p1e3 11343 . . . 4 (2 + 1) = 3
6620, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24decadd 11762 . . 3 ((13 · 2) + 11) = 37
678, 8, 14, 36declt 11722 . . 3 11 < 13
6860, 20, 47, 66, 67ndvdsi 15338 . 2 ¬ 13 ∥ 37
698, 2decnncl 11710 . . 3 17 ∈ ℕ
70 eqid 2760 . . . 4 17 = 17
711dec0h 11714 . . . 4 3 = 03
72 0p1e1 11324 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7363, 72oveq12i 6825 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
7473, 65eqtri 2782 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75 7t2e14 11840 . . . . 5 (7 · 2) = 14
768, 5, 1, 75, 53decaddi 11771 . . . 4 ((7 · 2) + 3) = 17
778, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76decmac 11758 . . 3 ((17 · 2) + 3) = 37
7822, 7, 1, 11declti 11738 . . 3 3 < 17
7969, 20, 14, 77, 78ndvdsi 15338 . 2 ¬ 17 ∥ 37
80 9nn 11384 . . . 4 9 ∈ ℕ
818, 80decnncl 11710 . . 3 19 ∈ ℕ
828, 10decnncl 11710 . . 3 18 ∈ ℕ
83 9nn0 11508 . . . 4 9 ∈ ℕ0
8481nncni 11222 . . . . 5 19 ∈ ℂ
8584mulid1i 10234 . . . 4 (19 · 1) = 19
86 eqid 2760 . . . 4 18 = 18
87 1p1e2 11326 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
8887oveq1i 6823 . . . . 5 ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
8988, 65eqtri 2782 . . . 4 ((1 + 1) + 1) = 3
90 9p8e17 11818 . . . 4 (9 + 8) = 17
918, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90decaddc 11764 . . 3 ((19 · 1) + 18) = 37
92 8lt9 11414 . . . 4 8 < 9
938, 4, 80, 92declt 11722 . . 3 18 < 19
9481, 8, 82, 91, 93ndvdsi 15338 . 2 ¬ 19 ∥ 37
9520, 14decnncl 11710 . . 3 23 ∈ ℕ
968, 48decnncl 11710 . . 3 14 ∈ ℕ
9795nncni 11222 . . . . 5 23 ∈ ℂ
9897mulid1i 10234 . . . 4 (23 · 1) = 23
99 eqid 2760 . . . 4 14 = 14
10020, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54decadd 11762 . . 3 ((23 · 1) + 14) = 37
101 1lt2 11386 . . . 4 1 < 2
1028, 20, 5, 1, 57, 101decltc 11724 . . 3 14 < 23
10395, 8, 96, 100, 102ndvdsi 15338 . 2 ¬ 23 ∥ 37
1043, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103prmlem2 16029 1 37 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  5c5 11265  6c6 11266  7c7 11267  8c8 11268  9c9 11269  ;cdc 11685  ℙcprime 15587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-prm 15588 This theorem is referenced by:  1259prm  16045
 Copyright terms: Public domain W3C validator