MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 37prm 15752
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm 37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 11254 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 7nn 11134 . . 3 7 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11462 . 2 37 ∈ ℕ
4 8nn0 11259 . . . 4 8 ∈ ℕ0
5 4nn0 11255 . . . 4 4 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11456 . . 3 84 ∈ ℕ0
7 7nn0 11258 . . 3 7 ∈ ℕ0
8 1nn0 11252 . . 3 1 ∈ ℕ0
9 7lt10 11619 . . 3 7 < 10
10 8nn 11135 . . . 4 8 ∈ ℕ
11 3lt10 11623 . . . 4 3 < 10
1210, 5, 1, 11declti 11490 . . 3 3 < 84
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 11476 . 2 37 < 841
14 3nn 11130 . . 3 3 ∈ ℕ
15 1lt10 11625 . . 3 1 < 10
1614, 7, 8, 15declti 11490 . 2 1 < 37
17 3t2e6 11123 . . 3 (3 · 2) = 6
18 df-7 11028 . . 3 7 = (6 + 1)
191, 1, 17, 18dec2dvds 15691 . 2 ¬ 2 ∥ 37
20 2nn0 11253 . . . 4 2 ∈ ℕ0
218, 20deccl 11456 . . 3 12 ∈ ℕ0
22 1nn 10975 . . 3 1 ∈ ℕ
23 6nn0 11257 . . . 4 6 ∈ ℕ0
24 6p1e7 11100 . . . 4 (6 + 1) = 7
25 eqid 2621 . . . . 5 12 = 12
26 0nn0 11251 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
27 3cn 11039 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
2827mulid1i 9986 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
2928oveq1i 6614 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
3027addid1i 10167 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3129, 30eqtri 2643 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 3
3223dec0h 11466 . . . . . 6 6 = 06
3317, 32eqtri 2643 . . . . 5 (3 · 2) = 06
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 11533 . . . 4 (3 · 12) = 36
351, 23, 24, 34decsuc 11479 . . 3 ((3 · 12) + 1) = 37
36 1lt3 11140 . . 3 1 < 3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 15060 . 2 ¬ 3 ∥ 37
38 2nn 11129 . . 3 2 ∈ ℕ
39 2lt5 11146 . . 3 2 < 5
40 5p2e7 11109 . . 3 (5 + 2) = 7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 15693 . 2 ¬ 5 ∥ 37
42 5nn0 11256 . . 3 5 ∈ ℕ0
43 7t5e35 11595 . . . 4 (7 · 5) = 35
441, 42, 20, 43, 40decaddi 11523 . . 3 ((7 · 5) + 2) = 37
45 2lt7 11157 . . 3 2 < 7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 15060 . 2 ¬ 7 ∥ 37
478, 22decnncl 11462 . . 3 11 ∈ ℕ
48 4nn 11131 . . 3 4 ∈ ℕ
49 eqid 2621 . . . 4 11 = 11
5027mulid2i 9987 . . . 4 (1 · 3) = 3
5150oveq1i 6614 . . . . 5 ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
5248nncni 10974 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
53 4p3e7 11107 . . . . . 6 (4 + 3) = 7
5452, 27, 53addcomli 10172 . . . . 5 (3 + 4) = 7
5551, 54eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 3) + 4) = 7
568, 8, 5, 49, 1, 50, 55decrmanc 11520 . . 3 ((11 · 3) + 4) = 37
57 4lt10 11622 . . . 4 4 < 10
5822, 8, 5, 57declti 11490 . . 3 4 < 11
5947, 1, 48, 56, 58ndvdsi 15060 . 2 ¬ 11 ∥ 37
608, 14decnncl 11462 . . 3 13 ∈ ℕ
61 eqid 2621 . . . . 5 13 = 13
62 2cn 11035 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
6362mulid2i 9987 . . . . 5 (1 · 2) = 2
6420, 8, 1, 61, 23, 63, 17decmul1 11529 . . . 4 (13 · 2) = 26
65 2p1e3 11095 . . . 4 (2 + 1) = 3
6620, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24decadd 11514 . . 3 ((13 · 2) + 11) = 37
678, 8, 14, 36declt 11474 . . 3 11 < 13
6860, 20, 47, 66, 67ndvdsi 15060 . 2 ¬ 13 ∥ 37
698, 2decnncl 11462 . . 3 17 ∈ ℕ
70 eqid 2621 . . . 4 17 = 17
711dec0h 11466 . . . 4 3 = 03
72 0p1e1 11076 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7363, 72oveq12i 6616 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
7473, 65eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75 7t2e14 11592 . . . . 5 (7 · 2) = 14
768, 5, 1, 75, 53decaddi 11523 . . . 4 ((7 · 2) + 3) = 17
778, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76decmac 11510 . . 3 ((17 · 2) + 3) = 37
7822, 7, 1, 11declti 11490 . . 3 3 < 17
7969, 20, 14, 77, 78ndvdsi 15060 . 2 ¬ 17 ∥ 37
80 9nn 11136 . . . 4 9 ∈ ℕ
818, 80decnncl 11462 . . 3 19 ∈ ℕ
828, 10decnncl 11462 . . 3 18 ∈ ℕ
83 9nn0 11260 . . . 4 9 ∈ ℕ0
8481nncni 10974 . . . . 5 19 ∈ ℂ
8584mulid1i 9986 . . . 4 (19 · 1) = 19
86 eqid 2621 . . . 4 18 = 18
87 1p1e2 11078 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
8887oveq1i 6614 . . . . 5 ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
8988, 65eqtri 2643 . . . 4 ((1 + 1) + 1) = 3
90 9p8e17 11570 . . . 4 (9 + 8) = 17
918, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90decaddc 11516 . . 3 ((19 · 1) + 18) = 37
92 8lt9 11166 . . . 4 8 < 9
938, 4, 80, 92declt 11474 . . 3 18 < 19
9481, 8, 82, 91, 93ndvdsi 15060 . 2 ¬ 19 ∥ 37
9520, 14decnncl 11462 . . 3 23 ∈ ℕ
968, 48decnncl 11462 . . 3 14 ∈ ℕ
9795nncni 10974 . . . . 5 23 ∈ ℂ
9897mulid1i 9986 . . . 4 (23 · 1) = 23
99 eqid 2621 . . . 4 14 = 14
10020, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54decadd 11514 . . 3 ((23 · 1) + 14) = 37
101 1lt2 11138 . . . 4 1 < 2
1028, 20, 5, 1, 57, 101decltc 11476 . . 3 14 < 23
10395, 8, 96, 100, 102ndvdsi 15060 . 2 ¬ 23 ∥ 37
1043, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103prmlem2 15751 1 37 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  7c7 11019  8c8 11020  9c9 11021  cdc 11437  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310
This theorem is referenced by:  1259prm  15767
  Copyright terms: Public domain W3C validator