MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cycld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cycld 26904
Description: Construction of a 3-cycle from three given edges in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
3wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3trld.n (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
3cycld.e (𝜑𝐴 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
3cycld (𝜑𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 3cycld
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . 3 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . 3 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
4 3wlkd.n . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
5 3wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
6 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8 3trld.n . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83pthd 26900 . 2 (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10 3cycld.e . . 3 (𝜑𝐴 = 𝐷)
111fveq1i 6149 . . . . . 6 (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0)
12 s4fv0 13576 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐴)
1311, 12syl5eq 2667 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
1413ad3antrrr 765 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → (𝑃‘0) = 𝐴)
15 simpr 477 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐷)
162fveq2i 6151 . . . . . . . . 9 (#‘𝐹) = (#‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
17 s3len 13575 . . . . . . . . 9 (#‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
1816, 17eqtri 2643 . . . . . . . 8 (#‘𝐹) = 3
191, 18fveq12i 6153 . . . . . . 7 (𝑃‘(#‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3)
20 s4fv3 13579 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3) = 𝐷)
2119, 20syl5req 2668 . . . . . 6 (𝐷𝑉𝐷 = (𝑃‘(#‘𝐹)))
2221adantl 482 . . . . 5 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → 𝐷 = (𝑃‘(#‘𝐹)))
2322ad2antlr 762 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐷 = (𝑃‘(#‘𝐹)))
2414, 15, 233eqtrd 2659 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ 𝐴 = 𝐷) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
253, 10, 24syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
26 iscycl 26555 . 2 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
279, 25, 26sylanbrc 697 1 (𝜑𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wss 3555  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cfv 5847  0cc0 9880  3c3 11015  #chash 13057  ⟨“cs3 13524  ⟨“cs4 13525  Vtxcvtx 25774  iEdgciedg 25775  Pathscpths 26477  Cyclesccycls 26549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-s2 13530  df-s3 13531  df-s4 13532  df-wlks 26365  df-trls 26458  df-pths 26481  df-cycls 26551
This theorem is referenced by:  3cyclpd  26905
  Copyright terms: Public domain W3C validator