Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dim2 33555
Description: Construct 2 new layers on top of 2 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝐴   ,𝑟,𝑠   ,𝑟,𝑠   𝑃,𝑟,𝑠   𝑄,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem 3dim2
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2 3dim0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim1 33554 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ∃𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
543adant2 1072 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
6 simpl21 1131 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑢𝐴)
7 simpl22 1132 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑣𝐴)
8 simp31 1089 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑄𝑢)
98necomd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑢𝑄)
109adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑢𝑄)
11 oveq1 6533 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
12 simp11 1083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝐾 ∈ HL)
13 simp13 1085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑄𝐴)
141, 3hlatjidm 33456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
1512, 13, 14syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
1611, 15sylan9eqr 2665 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 𝑄) = 𝑄)
1716breq2d 4589 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑢 𝑄))
1817notbid 306 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑢 𝑄))
19 hlatl 33448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2012, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝐾 ∈ AtLat)
21 simp21 1086 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑢𝐴)
222, 3atncmp 33400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑢𝐴𝑄𝐴) → (¬ 𝑢 𝑄𝑢𝑄))
2320, 21, 13, 22syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (¬ 𝑢 𝑄𝑢𝑄))
2423adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (¬ 𝑢 𝑄𝑢𝑄))
2518, 24bitrd 266 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑢𝑄))
2610, 25mpbird 245 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄))
27 simpl32 1135 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))
2816oveq1d 6541 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 𝑄) 𝑢) = (𝑄 𝑢))
2928breq2d 4589 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ 𝑣 (𝑄 𝑢)))
3027, 29mtbird 313 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))
31 breq1 4580 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑢 → (𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
3231notbid 306 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑢 → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
33 oveq2 6534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑢 → ((𝑃 𝑄) 𝑟) = ((𝑃 𝑄) 𝑢))
3433breq2d 4589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑢 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3534notbid 306 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑢 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3632, 35anbi12d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑢 → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ↔ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢))))
37 breq1 4580 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑣 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3837notbid 306 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑣 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3938anbi2d 735 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑣 → ((¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) ↔ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))))
4036, 39rspc2ev 3294 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝐴𝑣𝐴 ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
416, 7, 26, 30, 40syl112anc 1321 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
42 simp22 1087 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑣𝐴)
43 simp23 1088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑤𝐴)
4442, 43jca 552 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑣𝐴𝑤𝐴))
4544ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝑣𝐴𝑤𝐴))
46 simpll1 1092 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
47 simp32 1090 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))
48 simp33 1091 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))
4921, 47, 483jca 1234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
5049ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
51 simplr 787 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → 𝑃𝑄)
52 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → 𝑃 (𝑄 𝑢))
531, 2, 33dimlem2 33546 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑢))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
5446, 50, 51, 52, 53syl112anc 1321 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
55 3simpc 1052 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)) → (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
57 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑣 → (𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑣 (𝑃 𝑄)))
5857notbid 306 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑣 → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄)))
59 oveq2 6534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑣 → ((𝑃 𝑄) 𝑟) = ((𝑃 𝑄) 𝑣))
6059breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑣 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6160notbid 306 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑣 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6258, 61anbi12d 742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑣 → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ↔ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣))))
63 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑤 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣) ↔ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6463notbid 306 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑤 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣) ↔ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6564anbi2d 735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑤 → ((¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣)) ↔ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣))))
6662, 65rspc2ev 3294 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝐴𝑤𝐴 ∧ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
67663expa 1256 . . . . . . . . . 10 (((𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6845, 56, 67syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6921, 43jca 552 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴𝑤𝐴))
7069ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑢𝐴𝑤𝐴))
71 simp1 1053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
7221, 42jca 552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
738, 48jca 552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
7471, 72, 733jca 1234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))))
7574ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))))
76 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → 𝑃𝑄)
77 simplr 787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢))
78 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣))
791, 2, 33dimlem3 33548 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8075, 76, 77, 78, 79syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
81 3simpc 1052 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
83 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑤 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8483notbid 306 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑤 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8584anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑤 → ((¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) ↔ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢))))
8636, 85rspc2ev 3294 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝐴𝑤𝐴 ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
87863expa 1256 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
8870, 82, 87syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
8972ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
908, 47jca 552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢)))
9171, 72, 903jca 1234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))))
9291ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))))
93 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → 𝑃𝑄)
94 simplr 787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢))
95 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣))
961, 2, 33dimlem4 33551 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
9792, 93, 94, 95, 96syl121anc 1322 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
98 3simpc 1052 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
100403expa 1256 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10189, 99, 100syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10288, 101pm2.61dan 827 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10368, 102pm2.61dan 827 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10441, 103pm2.61dane 2868 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
1051043exp 1255 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))))
1061053expd 1275 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑢𝐴 → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))))))
107106imp32 447 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑤𝐴 → ((𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))))
108107rexlimdv 3011 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (∃𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))))
109108rexlimdvva 3019 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (∃𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))))
1105, 109mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896   class class class wbr 4577  cfv 5789  (class class class)co 6526  lecple 15723  joincjn 16715  Atomscatm 33351  AtLatcal 33352  HLchlt 33438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-p1 16811  df-lat 16817  df-clat 16879  df-oposet 33264  df-ol 33266  df-oml 33267  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439
This theorem is referenced by:  3dim3  33556  lhp2lt  34088
  Copyright terms: Public domain W3C validator