Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dim2 35072
Description: Construct 2 new layers on top of 2 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝐴   ,𝑟,𝑠   ,𝑟,𝑠   𝑃,𝑟,𝑠   𝑄,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem 3dim2
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2 3dim0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim1 35071 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ∃𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
543adant2 1100 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
6 simpl21 1159 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑢𝐴)
7 simpl22 1160 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑣𝐴)
8 simp31 1117 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑄𝑢)
98necomd 2878 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑢𝑄)
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑢𝑄)
11 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
12 simp11 1111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝐾 ∈ HL)
13 simp13 1113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑄𝐴)
141, 3hlatjidm 34973 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
1512, 13, 14syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
1611, 15sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 𝑄) = 𝑄)
1716breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑢 𝑄))
1817notbid 307 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑢 𝑄))
19 hlatl 34965 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2012, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝐾 ∈ AtLat)
21 simp21 1114 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑢𝐴)
222, 3atncmp 34917 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑢𝐴𝑄𝐴) → (¬ 𝑢 𝑄𝑢𝑄))
2320, 21, 13, 22syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (¬ 𝑢 𝑄𝑢𝑄))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (¬ 𝑢 𝑄𝑢𝑄))
2518, 24bitrd 268 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑢𝑄))
2610, 25mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄))
27 simpl32 1163 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))
2816oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 𝑄) 𝑢) = (𝑄 𝑢))
2928breq2d 4697 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ 𝑣 (𝑄 𝑢)))
3027, 29mtbird 314 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))
31 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑢 → (𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
3231notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑢 → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
33 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑢 → ((𝑃 𝑄) 𝑟) = ((𝑃 𝑄) 𝑢))
3433breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑢 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3534notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑢 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3632, 35anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑢 → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ↔ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢))))
37 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑣 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3837notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑣 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3938anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑣 → ((¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) ↔ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))))
4036, 39rspc2ev 3355 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝐴𝑣𝐴 ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
416, 7, 26, 30, 40syl112anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
42 simp22 1115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑣𝐴)
43 simp23 1116 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑤𝐴)
4442, 43jca 553 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑣𝐴𝑤𝐴))
4544ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝑣𝐴𝑤𝐴))
46 simpll1 1120 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
47 simp32 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))
48 simp33 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))
4921, 47, 483jca 1261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
5049ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
51 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → 𝑃𝑄)
52 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → 𝑃 (𝑄 𝑢))
531, 2, 33dimlem2 35063 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑢))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
5446, 50, 51, 52, 53syl112anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
55 3simpc 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)) → (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
57 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑣 → (𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑣 (𝑃 𝑄)))
5857notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑣 → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄)))
59 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑣 → ((𝑃 𝑄) 𝑟) = ((𝑃 𝑄) 𝑣))
6059breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑣 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6160notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑣 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6258, 61anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑣 → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ↔ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣))))
63 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑤 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣) ↔ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6463notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑤 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣) ↔ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6564anbi2d 740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑤 → ((¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣)) ↔ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣))))
6662, 65rspc2ev 3355 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝐴𝑤𝐴 ∧ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
67663expa 1284 . . . . . . . . . 10 (((𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6845, 56, 67syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6921, 43jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴𝑤𝐴))
7069ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑢𝐴𝑤𝐴))
71 simp1 1081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
7221, 42jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
738, 48jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
7471, 72, 733jca 1261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))))
7574ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))))
76 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → 𝑃𝑄)
77 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢))
78 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣))
791, 2, 33dimlem3 35065 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8075, 76, 77, 78, 79syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
81 3simpc 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
83 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑤 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8483notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑤 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8584anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑤 → ((¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) ↔ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢))))
8636, 85rspc2ev 3355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝐴𝑤𝐴 ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
87863expa 1284 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
8870, 82, 87syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
8972ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
908, 47jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢)))
9171, 72, 903jca 1261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))))
9291ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))))
93 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → 𝑃𝑄)
94 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢))
95 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣))
961, 2, 33dimlem4 35068 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
9792, 93, 94, 95, 96syl121anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
98 3simpc 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
100403expa 1284 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10189, 99, 100syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10288, 101pm2.61dan 849 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10368, 102pm2.61dan 849 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10441, 103pm2.61dane 2910 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
1051043exp 1283 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))))
1061053expd 1306 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑢𝐴 → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))))))
107106imp32 448 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑤𝐴 → ((𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))))
108107rexlimdv 3059 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (∃𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))))
109108rexlimdvva 3067 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (∃𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))))
1105, 109mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  lecple 15995  joincjn 16991  Atomscatm 34868  AtLatcal 34869  HLchlt 34955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956
This theorem is referenced by:  3dim3  35073  lhp2lt  35605
  Copyright terms: Public domain W3C validator