Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dimlem3 33561
Description: Lemma for 3dim1 33567. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dimlem3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))

Proof of Theorem 3dimlem3
StepHypRef Expression
1 simpr1 1059 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑃𝑄)
2 simpr2 1060 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅))
3 simpl11 1128 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simpl2l 1106 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑅𝐴)
5 simpl12 1129 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑃𝐴)
6 simpl13 1130 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑄𝐴)
7 simpl3l 1108 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑄𝑅)
87necomd 2836 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑅𝑄)
9 3dim0.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
10 3dim0.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
11 3dim0.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
129, 10, 11hlatexch2 33496 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑅𝑄) → (𝑅 (𝑃 𝑄) → 𝑃 (𝑅 𝑄)))
133, 4, 5, 6, 8, 12syl131anc 1330 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑅 (𝑃 𝑄) → 𝑃 (𝑅 𝑄)))
1410, 11hlatjcom 33468 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
153, 6, 4, 14syl3anc 1317 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
1615breq2d 4589 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃 (𝑅 𝑄)))
1713, 16sylibrd 247 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑅 (𝑃 𝑄) → 𝑃 (𝑄 𝑅)))
182, 17mtod 187 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
19 simpl1 1056 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
20 simpl2 1057 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴))
21 simpl3r 1109 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))
22 simpr3 1061 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2310, 9, 113dimlem3a 33560 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
2419, 20, 21, 2, 22, 23syl113anc 1329 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
251, 18, 243jca 1234 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  lecple 15721  joincjn 16713  Atomscatm 33364  HLchlt 33451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-lat 16815  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452
This theorem is referenced by:  3dim1  33567  3dim2  33568
  Copyright terms: Public domain W3C validator