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Theorem 3dvds2decOLD 14992
Description: Old version of 3dvds2dec 14991. Obsolete as of 1-Aug-2021. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3dvdsdec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b 𝐵 ∈ ℕ0
3dvds2dec.c 𝐶 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dvds2decOLD (3 ∥ 𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem 3dvds2decOLD
StepHypRef Expression
1 3dvdsdec.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 3dvdsdec.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
31, 23decOLD 13001 . . . 4 𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
4 sq10e99m1OLD 13000 . . . . . . . 8 (10↑2) = (99 + 1)
54oveq1i 6620 . . . . . . 7 ((10↑2) · 𝐴) = ((99 + 1) · 𝐴)
6 9nn0 11268 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
76, 6deccl 11464 . . . . . . . . 9 99 ∈ ℕ0
87nn0cni 11256 . . . . . . . 8 99 ∈ ℂ
9 ax-1cn 9946 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
101nn0cni 11256 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℂ
118, 9, 10adddiri 10003 . . . . . . 7 ((99 + 1) · 𝐴) = ((99 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
1210mulid2i 9995 . . . . . . . 8 (1 · 𝐴) = 𝐴
1312oveq2i 6621 . . . . . . 7 ((99 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((99 · 𝐴) + 𝐴)
145, 11, 133eqtri 2647 . . . . . 6 ((10↑2) · 𝐴) = ((99 · 𝐴) + 𝐴)
15 df-10OLD 11039 . . . . . . . 8 10 = (9 + 1)
1615oveq1i 6620 . . . . . . 7 (10 · 𝐵) = ((9 + 1) · 𝐵)
17 9cn 11060 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
182nn0cni 11256 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℂ
1917, 9, 18adddiri 10003 . . . . . . 7 ((9 + 1) · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵))
2018mulid2i 9995 . . . . . . . 8 (1 · 𝐵) = 𝐵
2120oveq2i 6621 . . . . . . 7 ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
2216, 19, 213eqtri 2647 . . . . . 6 (10 · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
2314, 22oveq12i 6622 . . . . 5 (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) = (((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵))
2423oveq1i 6620 . . . 4 ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶)
258, 10mulcli 9997 . . . . . 6 (99 · 𝐴) ∈ ℂ
2617, 18mulcli 9997 . . . . . 6 (9 · 𝐵) ∈ ℂ
27 add4 10208 . . . . . . 7 ((((99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) = (((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)))
2827oveq1d 6625 . . . . . 6 ((((99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶))
2925, 10, 26, 18, 28mp4an 708 . . . . 5 ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶)
3025, 26addcli 9996 . . . . . 6 ((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) ∈ ℂ
3110, 18addcli 9996 . . . . . 6 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
32 3dvds2dec.c . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
3332nn0cni 11256 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℂ
3430, 31, 33addassi 10000 . . . . 5 ((((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶) = (((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
35 9t11e99 11623 . . . . . . . . . . 11 (9 · 11) = 99
3635eqcomi 2630 . . . . . . . . . 10 99 = (9 · 11)
3736oveq1i 6620 . . . . . . . . 9 (99 · 𝐴) = ((9 · 11) · 𝐴)
38 1nn0 11260 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
3938, 38deccl 11464 . . . . . . . . . . 11 11 ∈ ℕ0
4039nn0cni 11256 . . . . . . . . . 10 11 ∈ ℂ
4117, 40, 10mulassi 10001 . . . . . . . . 9 ((9 · 11) · 𝐴) = (9 · (11 · 𝐴))
4237, 41eqtri 2643 . . . . . . . 8 (99 · 𝐴) = (9 · (11 · 𝐴))
4342oveq1i 6620 . . . . . . 7 ((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = ((9 · (11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
4440, 10mulcli 9997 . . . . . . . . 9 (11 · 𝐴) ∈ ℂ
4517, 44, 18adddii 10002 . . . . . . . 8 (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((9 · (11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
4645eqcomi 2630 . . . . . . 7 ((9 · (11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵)) = (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))
47 3t3e9 11132 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
4847eqcomi 2630 . . . . . . . . 9 9 = (3 · 3)
4948oveq1i 6620 . . . . . . . 8 (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((3 · 3) · ((11 · 𝐴) + 𝐵))
50 3cn 11047 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
5144, 18addcli 9996 . . . . . . . . 9 ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ
5250, 50, 51mulassi 10001 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
5349, 52eqtri 2643 . . . . . . 7 (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
5443, 46, 533eqtri 2647 . . . . . 6 ((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
5554oveq1i 6620 . . . . 5 (((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)) = ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
5629, 34, 553eqtri 2647 . . . 4 ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
573, 24, 563eqtri 2647 . . 3 𝐴𝐵𝐶 = ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
5857breq2i 4626 . 2 (3 ∥ 𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
59 3z 11362 . . 3 3 ∈ ℤ
601nn0zi 11354 . . . . 5 𝐴 ∈ ℤ
612nn0zi 11354 . . . . 5 𝐵 ∈ ℤ
62 zaddcl 11369 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
6360, 61, 62mp2an 707 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
6432nn0zi 11354 . . . 4 𝐶 ∈ ℤ
65 zaddcl 11369 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ)
6663, 64, 65mp2an 707 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ
6739nn0zi 11354 . . . . . . . 8 11 ∈ ℤ
68 zmulcl 11378 . . . . . . . 8 ((11 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (11 · 𝐴) ∈ ℤ)
6967, 60, 68mp2an 707 . . . . . . 7 (11 · 𝐴) ∈ ℤ
70 zaddcl 11369 . . . . . . 7 (((11 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ)
7169, 61, 70mp2an 707 . . . . . 6 ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ
72 zmulcl 11378 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ) → (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ)
7359, 71, 72mp2an 707 . . . . 5 (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ
74 zmulcl 11378 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ)
7559, 73, 74mp2an 707 . . . 4 (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ
76 dvdsmul1 14938 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))))
7759, 73, 76mp2an 707 . . . 4 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
7875, 77pm3.2i 471 . . 3 ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))))
79 dvdsadd2b 14963 . . 3 ((3 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))))) → (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))))
8059, 66, 78, 79mp3an 1421 . 2 (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
8158, 80bitr4i 267 1 (3 ∥ 𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cc 9886  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  2c2 11022  3c3 11023  9c9 11029  10c10 11030  0cn0 11244  cz 11329  cdc 11445  cexp 12808  cdvds 14918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-10OLD 11039  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-seq 12750  df-exp 12809  df-dvds 14919
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