Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3dvdsOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dvdsOLD 15100
 Description: Obsolete version of 3dvds 15099 as of 8-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
3dvdsOLD ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁

Proof of Theorem 3dvdsOLD
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3z 11448 . . 3 3 ∈ ℤ
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∈ ℤ)
3 fzfid 12812 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
4 ffvelrn 6397 . . . . 5 ((𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
54adantll 750 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
6 10nnOLD 11231 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
76nnzi 11439 . . . . 5 10 ∈ ℤ
8 elfznn0 12471 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
98adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 zexpcl 12915 . . . . 5 ((10 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (10↑𝑘) ∈ ℤ)
117, 9, 10sylancr 696 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (10↑𝑘) ∈ ℤ)
125, 11zmulcld 11526 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
133, 12fsumzcl 14510 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
143, 5fsumzcl 14510 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℤ)
1512, 5zsubcld 11525 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
16 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
176nncni 11068 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℂ
1816, 17negsubdi2i 10405 . . . . . . . . . . 11 -(1 − 10) = (10 − 1)
19 df-10OLD 11125 . . . . . . . . . . . 12 10 = (9 + 1)
2019oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 (10 − 1) = ((9 + 1) − 1)
21 9cn 11146 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
2221, 16pncan3oi 10335 . . . . . . . . . . 11 ((9 + 1) − 1) = 9
2318, 20, 223eqtri 2677 . . . . . . . . . 10 -(1 − 10) = 9
24 3t3e9 11218 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
2523, 24eqtr4i 2676 . . . . . . . . 9 -(1 − 10) = (3 · 3)
2617a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → 10 ∈ ℂ)
27 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
28 1lt10OLD 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 10
2927, 28gtneii 10187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 10 ≠ 1
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → 10 ≠ 1)
31 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)
3226, 30, 31geoser 14643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(10↑𝑗) = ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)))
33 fzfid 12812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (0...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
34 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
36 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((10 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (10↑𝑗) ∈ ℤ)
377, 35, 36sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → (10↑𝑗) ∈ ℤ)
3833, 37fsumzcl 14510 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(10↑𝑗) ∈ ℤ)
3932, 38eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)) ∈ ℤ)
40 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℤ
41 zsubcl 11457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℤ ∧ 10 ∈ ℤ) → (1 − 10) ∈ ℤ)
4240, 7, 41mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 − 10) ∈ ℤ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∈ ℤ)
4427, 28ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≠ 10
4516, 17subeq0i 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 − 10) = 0 ↔ 1 = 10)
4645necon3bii 2875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 − 10) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 10)
4744, 46mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 − 10) ≠ 0
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ≠ 0)
497, 31, 10sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (10↑𝑘) ∈ ℤ)
50 zsubcl 11457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℤ ∧ (10↑𝑘) ∈ ℤ) → (1 − (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
5140, 49, 50sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
52 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 − 10) ∈ ℤ ∧ (1 − 10) ≠ 0 ∧ (1 − (10↑𝑘)) ∈ ℤ) → ((1 − 10) ∥ (1 − (10↑𝑘)) ↔ ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)) ∈ ℤ))
5343, 48, 51, 52syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − 10) ∥ (1 − (10↑𝑘)) ↔ ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)) ∈ ℤ))
5439, 53mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∥ (1 − (10↑𝑘)))
5549zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
56 negsubdi2 10378 . . . . . . . . . . . . 13 (((10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((10↑𝑘) − 1) = (1 − (10↑𝑘)))
5755, 16, 56sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → -((10↑𝑘) − 1) = (1 − (10↑𝑘)))
5854, 57breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∥ -((10↑𝑘) − 1))
59 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . 13 ((10↑𝑘) ∈ ℤ → ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
6049, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
61 dvdsnegb 15046 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 10) ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − 10) ∥ -((10↑𝑘) − 1)))
6242, 60, 61sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − 10) ∥ -((10↑𝑘) − 1)))
6358, 62mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1))
64 negdvdsb 15045 . . . . . . . . . . 11 (((1 − 10) ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
6542, 60, 64sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
6663, 65mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → -(1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1))
6725, 66syl5eqbrr 4721 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · 3) ∥ ((10↑𝑘) − 1))
681a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℤ)
69 muldvds1 15053 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((3 · 3) ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
7068, 68, 60, 69syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · 3) ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
7167, 70mpd 15 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1))
729, 71syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1))
731a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∈ ℤ)
7411, 59syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
75 dvdsmultr2 15068 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → (3 ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1))))
7673, 5, 74, 75syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (3 ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1))))
7772, 76mpd 15 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1)))
785zcnd 11521 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7911zcnd 11521 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
8016a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
8178, 79, 80subdid 10524 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1)) = (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − ((𝐹𝑘) · 1)))
8278mulid1d 10095 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · 1) = (𝐹𝑘))
8382oveq2d 6706 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − ((𝐹𝑘) · 1)) = (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
8481, 83eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1)) = (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
8577, 84breqtrd 4711 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
863, 2, 15, 85fsumdvds 15077 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
8712zcnd 11521 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℂ)
883, 87, 78fsumsub 14564 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
8986, 88breqtrd 4711 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
90 dvdssub2 15070 . 2 (((3 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℤ) ∧ 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘))) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
912, 13, 14, 89, 90syl31anc 1369 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  3c3 11109  9c9 11115  10c10 11116  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ...cfz 12364  ↑cexp 12900  Σcsu 14460   ∥ cdvds 15027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-10OLD 11125  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator