MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3dvdsdecOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dvdsdecOLD 14990
Description: Obsolete proof of 3dvdsdec 14989 as of 8-Sep-2021. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3dvdsdec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dvdsdecOLD (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem 3dvdsdecOLD
StepHypRef Expression
1 dfdecOLD 11447 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
2 df-10OLD 11039 . . . . . . 7 10 = (9 + 1)
32oveq1i 6620 . . . . . 6 (10 · 𝐴) = ((9 + 1) · 𝐴)
4 9cn 11060 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
5 ax-1cn 9946 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
6 3dvdsdec.a . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
76nn0cni 11256 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
84, 5, 7adddiri 10003 . . . . . 6 ((9 + 1) · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
97mulid2i 9995 . . . . . . 7 (1 · 𝐴) = 𝐴
109oveq2i 6621 . . . . . 6 ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
113, 8, 103eqtri 2647 . . . . 5 (10 · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
1211oveq1i 6620 . . . 4 ((10 · 𝐴) + 𝐵) = (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵)
134, 7mulcli 9997 . . . . 5 (9 · 𝐴) ∈ ℂ
14 3dvdsdec.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
1514nn0cni 11256 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
1613, 7, 15addassi 10000 . . . 4 (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
171, 12, 163eqtri 2647 . . 3 𝐴𝐵 = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
1817breq2i 4626 . 2 (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
19 3z 11362 . . 3 3 ∈ ℤ
206nn0zi 11354 . . . 4 𝐴 ∈ ℤ
2114nn0zi 11354 . . . 4 𝐵 ∈ ℤ
22 zaddcl 11369 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
2320, 21, 22mp2an 707 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
24 9nn 11144 . . . . . 6 9 ∈ ℕ
2524nnzi 11353 . . . . 5 9 ∈ ℤ
26 zmulcl 11378 . . . . 5 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (9 · 𝐴) ∈ ℤ)
2725, 20, 26mp2an 707 . . . 4 (9 · 𝐴) ∈ ℤ
28 zmulcl 11378 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (3 · 𝐴) ∈ ℤ)
2919, 20, 28mp2an 707 . . . . . 6 (3 · 𝐴) ∈ ℤ
30 dvdsmul1 14938 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐴) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴)))
3119, 29, 30mp2an 707 . . . . 5 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴))
32 3t3e9 11132 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
3332eqcomi 2630 . . . . . . 7 9 = (3 · 3)
3433oveq1i 6620 . . . . . 6 (9 · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴)
35 3cn 11047 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
3635, 35, 7mulassi 10001 . . . . . 6 ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
3734, 36eqtri 2643 . . . . 5 (9 · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
3831, 37breqtrri 4645 . . . 4 3 ∥ (9 · 𝐴)
3927, 38pm3.2i 471 . . 3 ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))
40 dvdsadd2b 14963 . . 3 ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))) → (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
4119, 23, 39, 40mp3an 1421 . 2 (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
4218, 41bitr4i 267 1 (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  3c3 11023  9c9 11029  10c10 11030  0cn0 11244  cz 11329  cdc 11445  cdvds 14918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-10OLD 11039  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-dvds 14919
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator