Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3exp4mod41 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3exp4mod41 40829
Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
3exp4mod41 ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)

Proof of Theorem 3exp4mod41
StepHypRef Expression
1 2p2e4 11088 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
21eqcomi 2630 . . . . 5 4 = (2 + 2)
32oveq2i 6615 . . . 4 (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4 3cn 11039 . . . . 5 3 ∈ ℂ
5 2nn0 11253 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
6 expadd 12842 . . . . 5 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
74, 5, 5, 6mp3an 1421 . . . 4 (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8 sq3 12901 . . . . . 6 (3↑2) = 9
98, 8oveq12i 6616 . . . . 5 ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10 9t9e81 11614 . . . . 5 (9 · 9) = 81
119, 10eqtri 2643 . . . 4 ((3↑2) · (3↑2)) = 81
123, 7, 113eqtri 2647 . . 3 (3↑4) = 81
1312oveq1i 6614 . 2 ((3↑4) mod 41) = (81 mod 41)
14 dfdec10 11441 . . . 4 81 = ((10 · 8) + 1)
15 4cn 11042 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
16 2cn 11035 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
17 4t2e8 11125 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
1815, 16, 17mulcomli 9991 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
1918eqcomi 2630 . . . . . . 7 8 = (2 · 4)
2019oveq2i 6615 . . . . . 6 (10 · 8) = (10 · (2 · 4))
21 ax-1cn 9938 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
2216, 21negsubi 10303 . . . . . . . 8 (2 + -1) = (2 − 1)
23 2m1e1 11079 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
2422, 23eqtri 2643 . . . . . . 7 (2 + -1) = 1
2524eqcomi 2630 . . . . . 6 1 = (2 + -1)
2620, 25oveq12i 6616 . . . . 5 ((10 · 8) + 1) = ((10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27 10nn 11458 . . . . . . . 8 10 ∈ ℕ
2827nncni 10974 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
2916, 15mulcli 9989 . . . . . . 7 (2 · 4) ∈ ℂ
3028, 29mulcli 9989 . . . . . 6 (10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31 neg1cn 11068 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
3230, 16, 31addassi 9992 . . . . 5 (((10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
3328, 15mulcli 9989 . . . . . . . 8 (10 · 4) ∈ ℂ
3416, 33, 21adddii 9994 . . . . . . 7 (2 · ((10 · 4) + 1)) = ((2 · (10 · 4)) + (2 · 1))
35 dfdec10 11441 . . . . . . . . 9 41 = ((10 · 4) + 1)
3635eqcomi 2630 . . . . . . . 8 ((10 · 4) + 1) = 41
3736oveq2i 6615 . . . . . . 7 (2 · ((10 · 4) + 1)) = (2 · 41)
3816, 28, 15mul12i 10175 . . . . . . . 8 (2 · (10 · 4)) = (10 · (2 · 4))
39 2t1e2 11120 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
4038, 39oveq12i 6616 . . . . . . 7 ((2 · (10 · 4)) + (2 · 1)) = ((10 · (2 · 4)) + 2)
4134, 37, 403eqtr3ri 2652 . . . . . 6 ((10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · 41)
4241oveq1i 6614 . . . . 5 (((10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · 41) + -1)
4326, 32, 423eqtr2i 2649 . . . 4 ((10 · 8) + 1) = ((2 · 41) + -1)
4414, 43eqtri 2643 . . 3 81 = ((2 · 41) + -1)
4544oveq1i 6614 . 2 (81 mod 41) = (((2 · 41) + -1) mod 41)
46 4nn0 11255 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
47 1nn 10975 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
4846, 47decnncl 11462 . . . . . . 7 41 ∈ ℕ
4948nncni 10974 . . . . . 6 41 ∈ ℂ
5016, 49mulcli 9989 . . . . 5 (2 · 41) ∈ ℂ
5150, 31addcomi 10171 . . . 4 ((2 · 41) + -1) = (-1 + (2 · 41))
5251oveq1i 6614 . . 3 (((2 · 41) + -1) mod 41) = ((-1 + (2 · 41)) mod 41)
53 neg1rr 11069 . . . 4 -1 ∈ ℝ
54 nnrp 11786 . . . . 5 (41 ∈ ℕ → 41 ∈ ℝ+)
5548, 54ax-mp 5 . . . 4 41 ∈ ℝ+
56 2z 11353 . . . 4 2 ∈ ℤ
57 modcyc 12645 . . . 4 ((-1 ∈ ℝ ∧ 41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · 41)) mod 41) = (-1 mod 41))
5853, 55, 56, 57mp3an 1421 . . 3 ((-1 + (2 · 41)) mod 41) = (-1 mod 41)
5952, 58eqtri 2643 . 2 (((2 · 41) + -1) mod 41) = (-1 mod 41)
6013, 45, 593eqtri 2647 1 ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  -cneg 10211  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  8c8 11020  9c9 11021  0cn0 11236  cz 11321  cdc 11437  +crp 11776   mod cmo 12608  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  40831
  Copyright terms: Public domain W3C validator