Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3exp4mod41 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3exp4mod41 41960
Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
3exp4mod41 ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)

Proof of Theorem 3exp4mod41
StepHypRef Expression
1 2p2e4 11257 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
21eqcomi 2733 . . . . 5 4 = (2 + 2)
32oveq2i 6776 . . . 4 (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4 3cn 11208 . . . . 5 3 ∈ ℂ
5 2nn0 11422 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
6 expadd 13017 . . . . 5 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
74, 5, 5, 6mp3an 1537 . . . 4 (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8 sq3 13076 . . . . . 6 (3↑2) = 9
98, 8oveq12i 6777 . . . . 5 ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10 9t9e81 11783 . . . . 5 (9 · 9) = 81
119, 10eqtri 2746 . . . 4 ((3↑2) · (3↑2)) = 81
123, 7, 113eqtri 2750 . . 3 (3↑4) = 81
1312oveq1i 6775 . 2 ((3↑4) mod 41) = (81 mod 41)
14 dfdec10 11610 . . . 4 81 = ((10 · 8) + 1)
15 4cn 11211 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
16 2cn 11204 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
17 4t2e8 11294 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
1815, 16, 17mulcomli 10160 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
1918eqcomi 2733 . . . . . . 7 8 = (2 · 4)
2019oveq2i 6776 . . . . . 6 (10 · 8) = (10 · (2 · 4))
21 ax-1cn 10107 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
2216, 21negsubi 10472 . . . . . . . 8 (2 + -1) = (2 − 1)
23 2m1e1 11248 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
2422, 23eqtri 2746 . . . . . . 7 (2 + -1) = 1
2524eqcomi 2733 . . . . . 6 1 = (2 + -1)
2620, 25oveq12i 6777 . . . . 5 ((10 · 8) + 1) = ((10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27 10nn 11627 . . . . . . . 8 10 ∈ ℕ
2827nncni 11143 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
2916, 15mulcli 10158 . . . . . . 7 (2 · 4) ∈ ℂ
3028, 29mulcli 10158 . . . . . 6 (10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31 neg1cn 11237 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
3230, 16, 31addassi 10161 . . . . 5 (((10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
3328, 15mulcli 10158 . . . . . . . 8 (10 · 4) ∈ ℂ
3416, 33, 21adddii 10163 . . . . . . 7 (2 · ((10 · 4) + 1)) = ((2 · (10 · 4)) + (2 · 1))
35 dfdec10 11610 . . . . . . . . 9 41 = ((10 · 4) + 1)
3635eqcomi 2733 . . . . . . . 8 ((10 · 4) + 1) = 41
3736oveq2i 6776 . . . . . . 7 (2 · ((10 · 4) + 1)) = (2 · 41)
3816, 28, 15mul12i 10344 . . . . . . . 8 (2 · (10 · 4)) = (10 · (2 · 4))
39 2t1e2 11289 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
4038, 39oveq12i 6777 . . . . . . 7 ((2 · (10 · 4)) + (2 · 1)) = ((10 · (2 · 4)) + 2)
4134, 37, 403eqtr3ri 2755 . . . . . 6 ((10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · 41)
4241oveq1i 6775 . . . . 5 (((10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · 41) + -1)
4326, 32, 423eqtr2i 2752 . . . 4 ((10 · 8) + 1) = ((2 · 41) + -1)
4414, 43eqtri 2746 . . 3 81 = ((2 · 41) + -1)
4544oveq1i 6775 . 2 (81 mod 41) = (((2 · 41) + -1) mod 41)
46 4nn0 11424 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
47 1nn 11144 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
4846, 47decnncl 11631 . . . . . . 7 41 ∈ ℕ
4948nncni 11143 . . . . . 6 41 ∈ ℂ
5016, 49mulcli 10158 . . . . 5 (2 · 41) ∈ ℂ
5150, 31addcomi 10340 . . . 4 ((2 · 41) + -1) = (-1 + (2 · 41))
5251oveq1i 6775 . . 3 (((2 · 41) + -1) mod 41) = ((-1 + (2 · 41)) mod 41)
53 neg1rr 11238 . . . 4 -1 ∈ ℝ
54 nnrp 11956 . . . . 5 (41 ∈ ℕ → 41 ∈ ℝ+)
5548, 54ax-mp 5 . . . 4 41 ∈ ℝ+
56 2z 11522 . . . 4 2 ∈ ℤ
57 modcyc 12820 . . . 4 ((-1 ∈ ℝ ∧ 41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · 41)) mod 41) = (-1 mod 41))
5853, 55, 56, 57mp3an 1537 . . 3 ((-1 + (2 · 41)) mod 41) = (-1 mod 41)
5952, 58eqtri 2746 . 2 (((2 · 41) + -1) mod 41) = (-1 mod 41)
6013, 45, 593eqtri 2750 1 ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1596  wcel 2103  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  cmin 10379  -cneg 10380  cn 11133  2c2 11183  3c3 11184  4c4 11185  8c8 11189  9c9 11190  0cn0 11405  cz 11490  cdc 11606  +crp 11946   mod cmo 12783  cexp 12975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976
This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  41962
  Copyright terms: Public domain W3C validator