Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3exp4mod41 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3exp4mod41 43658
Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
3exp4mod41 ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)

Proof of Theorem 3exp4mod41
StepHypRef Expression
1 2p2e4 11760 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
21eqcomi 2827 . . . . 5 4 = (2 + 2)
32oveq2i 7156 . . . 4 (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4 3cn 11706 . . . . 5 3 ∈ ℂ
5 2nn0 11902 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
6 expadd 13459 . . . . 5 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
74, 5, 5, 6mp3an 1452 . . . 4 (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8 sq3 13549 . . . . . 6 (3↑2) = 9
98, 8oveq12i 7157 . . . . 5 ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10 9t9e81 12215 . . . . 5 (9 · 9) = 81
119, 10eqtri 2841 . . . 4 ((3↑2) · (3↑2)) = 81
123, 7, 113eqtri 2845 . . 3 (3↑4) = 81
1312oveq1i 7155 . 2 ((3↑4) mod 41) = (81 mod 41)
14 dfdec10 12089 . . . 4 81 = ((10 · 8) + 1)
15 4cn 11710 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
16 2cn 11700 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
17 4t2e8 11793 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
1815, 16, 17mulcomli 10638 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
1918eqcomi 2827 . . . . . . 7 8 = (2 · 4)
2019oveq2i 7156 . . . . . 6 (10 · 8) = (10 · (2 · 4))
21 ax-1cn 10583 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
2216, 21negsubi 10952 . . . . . . . 8 (2 + -1) = (2 − 1)
23 2m1e1 11751 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
2422, 23eqtri 2841 . . . . . . 7 (2 + -1) = 1
2524eqcomi 2827 . . . . . 6 1 = (2 + -1)
2620, 25oveq12i 7157 . . . . 5 ((10 · 8) + 1) = ((10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27 10nn 12102 . . . . . . . 8 10 ∈ ℕ
2827nncni 11636 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
2916, 15mulcli 10636 . . . . . . 7 (2 · 4) ∈ ℂ
3028, 29mulcli 10636 . . . . . 6 (10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31 neg1cn 11739 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
3230, 16, 31addassi 10639 . . . . 5 (((10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
3328, 15mulcli 10636 . . . . . . . 8 (10 · 4) ∈ ℂ
3416, 33, 21adddii 10641 . . . . . . 7 (2 · ((10 · 4) + 1)) = ((2 · (10 · 4)) + (2 · 1))
35 dfdec10 12089 . . . . . . . . 9 41 = ((10 · 4) + 1)
3635eqcomi 2827 . . . . . . . 8 ((10 · 4) + 1) = 41
3736oveq2i 7156 . . . . . . 7 (2 · ((10 · 4) + 1)) = (2 · 41)
3816, 28, 15mul12i 10823 . . . . . . . 8 (2 · (10 · 4)) = (10 · (2 · 4))
39 2t1e2 11788 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
4038, 39oveq12i 7157 . . . . . . 7 ((2 · (10 · 4)) + (2 · 1)) = ((10 · (2 · 4)) + 2)
4134, 37, 403eqtr3ri 2850 . . . . . 6 ((10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · 41)
4241oveq1i 7155 . . . . 5 (((10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · 41) + -1)
4326, 32, 423eqtr2i 2847 . . . 4 ((10 · 8) + 1) = ((2 · 41) + -1)
4414, 43eqtri 2841 . . 3 81 = ((2 · 41) + -1)
4544oveq1i 7155 . 2 (81 mod 41) = (((2 · 41) + -1) mod 41)
46 4nn0 11904 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
47 1nn 11637 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
4846, 47decnncl 12106 . . . . . . 7 41 ∈ ℕ
4948nncni 11636 . . . . . 6 41 ∈ ℂ
5016, 49mulcli 10636 . . . . 5 (2 · 41) ∈ ℂ
5150, 31addcomi 10819 . . . 4 ((2 · 41) + -1) = (-1 + (2 · 41))
5251oveq1i 7155 . . 3 (((2 · 41) + -1) mod 41) = ((-1 + (2 · 41)) mod 41)
53 neg1rr 11740 . . . 4 -1 ∈ ℝ
54 nnrp 12388 . . . . 5 (41 ∈ ℕ → 41 ∈ ℝ+)
5548, 54ax-mp 5 . . . 4 41 ∈ ℝ+
56 2z 12002 . . . 4 2 ∈ ℤ
57 modcyc 13262 . . . 4 ((-1 ∈ ℝ ∧ 41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · 41)) mod 41) = (-1 mod 41))
5853, 55, 56, 57mp3an 1452 . . 3 ((-1 + (2 · 41)) mod 41) = (-1 mod 41)
5952, 58eqtri 2841 . 2 (((2 · 41) + -1) mod 41) = (-1 mod 41)
6013, 45, 593eqtri 2845 1 ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  -cneg 10859  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  8c8 11686  9c9 11687  0cn0 11885  cz 11969  cdc 12086  +crp 12377   mod cmo 13225  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  43660
  Copyright terms: Public domain W3C validator