MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3halfnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3halfnz 11668
Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
3halfnz ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Proof of Theorem 3halfnz
StepHypRef Expression
1 1z 11619 . 2 1 ∈ ℤ
2 2cn 11303 . . . . 5 2 ∈ ℂ
32mulid2i 10255 . . . 4 (1 · 2) = 2
4 2lt3 11407 . . . 4 2 < 3
53, 4eqbrtri 4825 . . 3 (1 · 2) < 3
6 1re 10251 . . . 4 1 ∈ ℝ
7 3re 11306 . . . 4 3 ∈ ℝ
8 2re 11302 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 2pos 11324 . . . . 5 0 < 2
108, 9pm3.2i 470 . . . 4 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
11 ltmuldiv 11108 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
126, 7, 10, 11mp3an 1573 . . 3 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
135, 12mpbi 220 . 2 1 < (3 / 2)
14 3lt4 11409 . . . 4 3 < 4
15 2t2e4 11389 . . . . 5 (2 · 2) = 4
1615breq2i 4812 . . . 4 (3 < (2 · 2) ↔ 3 < 4)
1714, 16mpbir 221 . . 3 3 < (2 · 2)
18 1p1e2 11346 . . . . 5 (1 + 1) = 2
1918breq2i 4812 . . . 4 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ (3 / 2) < 2)
20 ltdivmul 11110 . . . . 5 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
217, 8, 10, 20mp3an 1573 . . . 4 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2219, 21bitri 264 . . 3 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ 3 < (2 · 2))
2317, 22mpbir 221 . 2 (3 / 2) < (1 + 1)
24 btwnnz 11665 . 2 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 < (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)) → ¬ (3 / 2) ∈ ℤ)
251, 13, 23, 24mp3an 1573 1 ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286   / cdiv 10896  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  cz 11589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-n0 11505  df-z 11590
This theorem is referenced by:  nn0o1gt2  15319
  Copyright terms: Public domain W3C validator