MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3halfnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3halfnz 12049
Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
3halfnz ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Proof of Theorem 3halfnz
StepHypRef Expression
1 1z 12000 . 2 1 ∈ ℤ
2 2cn 11700 . . . . 5 2 ∈ ℂ
32mulid2i 10634 . . . 4 (1 · 2) = 2
4 2lt3 11797 . . . 4 2 < 3
53, 4eqbrtri 5078 . . 3 (1 · 2) < 3
6 1re 10629 . . . 4 1 ∈ ℝ
7 3re 11705 . . . 4 3 ∈ ℝ
8 2re 11699 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 2pos 11728 . . . . 5 0 < 2
108, 9pm3.2i 471 . . . 4 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
11 ltmuldiv 11501 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
126, 7, 10, 11mp3an 1452 . . 3 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
135, 12mpbi 231 . 2 1 < (3 / 2)
14 3lt4 11799 . . . 4 3 < 4
15 2t2e4 11789 . . . . 5 (2 · 2) = 4
1615breq2i 5065 . . . 4 (3 < (2 · 2) ↔ 3 < 4)
1714, 16mpbir 232 . . 3 3 < (2 · 2)
18 1p1e2 11750 . . . . 5 (1 + 1) = 2
1918breq2i 5065 . . . 4 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ (3 / 2) < 2)
20 ltdivmul 11503 . . . . 5 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
217, 8, 10, 20mp3an 1452 . . . 4 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2219, 21bitri 276 . . 3 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ 3 < (2 · 2))
2317, 22mpbir 232 . 2 (3 / 2) < (1 + 1)
24 btwnnz 12046 . 2 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 < (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)) → ¬ (3 / 2) ∈ ℤ)
251, 13, 23, 24mp3an 1452 1 ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663   / cdiv 11285  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970
This theorem is referenced by:  n2dvds3  15709  nn0o1gt2  15720
  Copyright terms: Public domain W3C validator