MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3lcm2e6woprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lcm2e6woprm 15252
Description: The least common multiple of three and two is six. In contrast to 3lcm2e6 15364, this proof does not use the property of 2 and 3 being prime, therefore it is much longer. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
3lcm2e6woprm (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm
StepHypRef Expression
1 3cn 11039 . . . 4 3 ∈ ℂ
2 2cn 11035 . . . 4 2 ∈ ℂ
31, 2mulcli 9989 . . 3 (3 · 2) ∈ ℂ
4 3z 11354 . . . 4 3 ∈ ℤ
5 2z 11353 . . . 4 2 ∈ ℤ
6 lcmcl 15238 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11297 . . . 4 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
84, 5, 7mp2an 707 . . 3 (3 lcm 2) ∈ ℂ
94, 5pm3.2i 471 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10 2ne0 11057 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110neii 2792 . . . . . 6 ¬ 2 = 0
1211intnan 959 . . . . 5 ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13 gcdn0cl 15148 . . . . . 6 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
1413nncnd 10980 . . . . 5 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
159, 12, 14mp2an 707 . . . 4 (3 gcd 2) ∈ ℂ
169, 12, 13mp2an 707 . . . . 5 (3 gcd 2) ∈ ℕ
1716nnne0i 10999 . . . 4 (3 gcd 2) ≠ 0
1815, 17pm3.2i 471 . . 3 ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)
19 3nn 11130 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
20 2nn 11129 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2119, 20pm3.2i 471 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
22 lcmgcdnn 15248 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
2322eqcomd 2627 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
2421, 23mp1i 13 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
25 divmul3 10634 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
2624, 25mpbird 247 . . . 4 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
2726eqcomd 2627 . . 3 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
283, 8, 18, 27mp3an 1421 . 2 (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
29 gcdcom 15159 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
304, 5, 29mp2an 707 . . . 4 (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
31 1z 11351 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
32 gcdid 15172 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 gcd 1) = (abs‘1)
34 abs1 13971 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
3533, 34eqtr2i 2644 . . . . . . 7 1 = (1 gcd 1)
36 gcdadd 15171 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
3731, 31, 36mp2an 707 . . . . . . 7 (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
38 1p1e2 11078 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3938oveq2i 6615 . . . . . . 7 (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
4035, 37, 393eqtri 2647 . . . . . 6 1 = (1 gcd 2)
41 gcdcom 15159 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
4231, 5, 41mp2an 707 . . . . . 6 (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
43 gcdadd 15171 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
445, 31, 43mp2an 707 . . . . . 6 (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
4540, 42, 443eqtri 2647 . . . . 5 1 = (2 gcd (1 + 2))
46 1p2e3 11096 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
4746oveq2i 6615 . . . . 5 (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
4845, 47eqtr2i 2644 . . . 4 (2 gcd 3) = 1
4930, 48eqtri 2643 . . 3 (3 gcd 2) = 1
5049oveq2i 6615 . 2 ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
51 3t2e6 11123 . . . 4 (3 · 2) = 6
5251oveq1i 6614 . . 3 ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
53 6cn 11046 . . . 4 6 ∈ ℂ
5453div1i 10697 . . 3 (6 / 1) = 6
5552, 54eqtri 2643 . 2 ((3 · 2) / 1) = 6
5628, 50, 553eqtri 2647 1 (3 lcm 2) = 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  6c6 11018  cz 11321  abscabs 13908   gcd cgcd 15140   lcm clcm 15225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-lcm 15227
This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  15284
  Copyright terms: Public domain W3C validator