Theorem 3nn 11715

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 11700	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 11709	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 11649	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2909	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7155  1c1 10537   + caddc 10539  ℕcn 11637  2c2 11691  3c3 11692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-1cn 10594

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700

This theorem is referenced by:  4nn  11719  3nn0  11914  3z  12014  ige3m2fz  12930  f1oun2prg  14278  sqrlem7  14607  bpoly4  15412  fsumcube  15413  sin01bnd  15537  egt2lt3  15558  rpnnen2lem2  15567  rpnnen2lem3  15568  rpnnen2lem4  15569  rpnnen2lem9  15574  rpnnen2lem11  15576  3lcm2e6woprm  15958  3lcm2e6  16071  prmo3  16376  5prm  16441  6nprm  16442  7prm  16443  9nprm  16445  11prm  16447  13prm  16448  17prm  16449  19prm  16450  23prm  16451  prmlem2  16452  37prm  16453  43prm  16454  83prm  16455  139prm  16456  163prm  16457  317prm  16458  631prm  16459  1259lem5  16467  2503lem1  16469  2503lem2  16470  2503lem3  16471  4001lem4  16476  4001prm  16477  mulrndx  16614  mulrid  16615  rngstr  16618  ressmulr  16624  unifndx  16676  unifid  16677  lt6abl  19014  sramulr  19951  opsrmulr  20260  cnfldstr  20546  cnfldfun  20556  zlmmulr  20666  znmul  20687  ressunif  22870  tuslem  22875  tngmulr  23252  tangtx  25090  1cubrlem  25418  1cubr  25419  dcubic1lem  25420  dcubic2  25421  dcubic  25423  mcubic  25424  cubic2  25425  cubic  25426  quartlem3  25436  quart  25438  log2cnv  25521  log2tlbnd  25522  log2ublem1  25523  log2ublem2  25524  log2ub  25526  ppiublem1  25777  ppiub  25779  chtub  25787  bposlem3  25861  bposlem4  25862  bposlem5  25863  bposlem6  25864  bposlem9  25867  lgsdir2lem5  25904  dchrvmasumlem2  26073  dchrvmasumlema  26075  pntleml  26186  tgcgr4  26316  axlowdimlem16  26742  axlowdimlem17  26743  usgrexmpldifpr  27039  upgr3v3e3cycl  27958  ex-cnv  28215  ex-rn  28218  ex-mod  28227  resvmulr  30908  fib4  31662  circlevma  31913  circlemethhgt  31914  hgt750lema  31928  sinccvglem  32915  cnndvlem1  33876  mblfinlem3  34930  itg2addnclem2  34943  itg2addnclem3  34944  itg2addnc  34945  hlhilsmul  39076  3cubeslem2  39280  3cubeslem3r  39282  3cubes  39285  rmydioph  39609  rmxdioph  39611  expdiophlem2  39617  expdioph  39618  amgm3d  40550  lhe4.4ex1a  40659  257prm  43722  fmtno4prmfac193  43734  fmtno4nprmfac193  43735  3ndvds4  43757  139prmALT  43758  31prm  43759  127prm  43762  41prothprm  43783  341fppr2  43898  nfermltl2rev  43907  wtgoldbnnsum4prm  43966  bgoldbnnsum3prm  43968  bgoldbtbndlem1  43969  tgoldbach  43981