HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  3oalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3oalem3 28390
Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3oalem1.1 𝐵C
3oalem1.2 𝐶C
3oalem1.3 𝑅C
3oalem1.4 𝑆C
Assertion
Ref Expression
3oalem3 ((𝐵 + 𝑅) ∩ (𝐶 + 𝑆)) ⊆ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))))

Proof of Theorem 3oalem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3oalem1.1 . . . . . . 7 𝐵C
2 3oalem1.3 . . . . . . 7 𝑅C
31, 2chseli 28185 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝐵 + 𝑅) ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝑅 𝑣 = (𝑥 + 𝑦))
4 r2ex 3055 . . . . . 6 (∃𝑥𝐵𝑦𝑅 𝑣 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)))
53, 4bitri 264 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝐵 + 𝑅) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)))
6 3oalem1.2 . . . . . . 7 𝐶C
7 3oalem1.4 . . . . . . 7 𝑆C
86, 7chseli 28185 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝐶 + 𝑆) ↔ ∃𝑧𝐶𝑤𝑆 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))
9 r2ex 3055 . . . . . 6 (∃𝑧𝐶𝑤𝑆 𝑣 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤)))
108, 9bitri 264 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝐶 + 𝑆) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤)))
115, 10anbi12i 732 . . . 4 ((𝑣 ∈ (𝐵 + 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶 + 𝑆)) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))))
12 elin 3779 . . . 4 (𝑣 ∈ ((𝐵 + 𝑅) ∩ (𝐶 + 𝑆)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐵 + 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶 + 𝑆)))
13 ee4anv 2183 . . . 4 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))))
1411, 12, 133bitr4i 292 . . 3 (𝑣 ∈ ((𝐵 + 𝑅) ∩ (𝐶 + 𝑆)) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))))
151, 6, 2, 73oalem2 28389 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
1615exlimivv 1857 . . . 4 (∃𝑧𝑤(((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
1716exlimivv 1857 . . 3 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐵𝑦𝑅) ∧ 𝑣 = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑧 + 𝑤))) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
1814, 17sylbi 207 . 2 (𝑣 ∈ ((𝐵 + 𝑅) ∩ (𝐶 + 𝑆)) → 𝑣 ∈ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆))))))
1918ssriv 3591 1 ((𝐵 + 𝑅) ∩ (𝐶 + 𝑆)) ⊆ (𝐵 + (𝑅 ∩ (𝑆 + ((𝐵 + 𝐶) ∩ (𝑅 + 𝑆)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wrex 2908  cin 3558  wss 3559  (class class class)co 6610   + cva 27644   C cch 27653   + cph 27655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-hilex 27723  ax-hfvadd 27724  ax-hvcom 27725  ax-hvass 27726  ax-hv0cl 27727  ax-hvaddid 27728  ax-hfvmul 27729  ax-hvmulid 27730  ax-hvdistr1 27732  ax-hvdistr2 27733  ax-hvmul0 27734
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-ltxr 10030  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-grpo 27214  df-ablo 27266  df-hvsub 27695  df-hlim 27696  df-sh 27931  df-ch 27945  df-shs 28034
This theorem is referenced by:  3oai  28394
  Copyright terms: Public domain W3C validator