Theorem 3prm 16040

Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
3prm	⊢ 3 ∈ ℙ

Proof of Theorem 3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12018	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		1lt3 11813	. . 3 ⊢ 1 < 3
3		eluz2b1 12322	. . 3 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
4	1, 2, 3	mpbir2an 709	. 2 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
5		elfz1eq 12921	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → 𝑧 = 2)
6		n2dvds3 15723	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
7		breq1 5071	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 ∥ 3 ↔ 2 ∥ 3))
8	6, 7	mtbiri 329	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 ∥ 3)
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
10		3m1e2 11768	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
11	10	oveq2i 7169	. . . 4 ⊢ (2...(3 − 1)) = (2...2)
12	9, 11	eleq2s 2933	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
13	12	rgen 3150	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3
14		isprm3 16029	. 2 ⊢ (3 ∈ ℙ ↔ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3))
15	4, 13, 14	mpbir2an 709	1 ⊢ 3 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  1c1 10540   < clt 10677   − cmin 10872  2c2 11695  3c3 11696  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895   ∥ cdvds 15609  ℙcprime 16017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-prm 16018

This theorem is referenced by:  ge2nprmge4  16047  3lcm2e6  16074  prmo3  16379  4001lem4  16479  lt6abl  19017  2logb9irr  25375  2logb3irr  25377  ppi3  25750  cht3  25752  bpos1  25861  fmtno0prm  43727  m2prm  43760  6gbe  43943  7gbow  43944  8gbe  43945  9gbo  43946  11gbo  43947  sbgoldbwt  43949  sbgoldbst  43950  sbgoldbo  43959  nnsum3primesle9  43966  nnsum4primeseven  43972  nnsum4primesevenALTV  43973  zlmodzxznm  44559