Theorem 3pthd 27326

Description: A path of length 3 from one vertex to another vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
3wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3trld.n	⊢ (𝜑 → (𝐽 ≠ 𝐾 ∧ 𝐽 ≠ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿))

Assertion

Ref	Expression
3pthd	⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 3pthd

Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		s4cli 13827	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
3	1, 2	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
5		3wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
6	5	fveq2i 6355	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
7		s3len 13839	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
8	6, 7	eqtri 2782	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = 3
9		4m1e3 11330	. . 3 ⊢ (4 − 1) = 3
10	1	fveq2i 6355	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
11		s4len 13844	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
12	10, 11	eqtr2i 2783	. . . 4 ⊢ 4 = (♯‘𝑃)
13	12	oveq1i 6823	. . 3 ⊢ (4 − 1) = ((♯‘𝑃) − 1)
14	8, 9, 13	3eqtr2i 2788	. 2 ⊢ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)
15		3wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
16		3wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
17	1, 5, 15, 16	3pthdlem1 27316	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)))
18		eqid 2760	. 2 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹)
19		3wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
20		3wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21		3wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
22		3trld.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ≠ 𝐾 ∧ 𝐽 ≠ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ 𝐿))
23	1, 5, 15, 16, 19, 20, 21, 22	3trld 27324	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
24	4, 14, 17, 18, 23	pthd 26875	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  {cpr 4323   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  1c1 10129   − cmin 10458  3c3 11263  4c4 11264  ♯chash 13311  Word cword 13477  ⟨“cs3 13787  ⟨“cs4 13788  Vtxcvtx 26073  iEdgciedg 26074  Pathscpths 26818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-s2 13793  df-s3 13794  df-s4 13795  df-wlks 26705  df-trls 26799  df-pths 26822

This theorem is referenced by:  3pthond  27327  3cycld  27330