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Theorem 3pthdlem1 26907
Description: Lemma 1 for 3pthd 26917. (Contributed by AV, 9-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
3pthdlem1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑃,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝐾(𝑗)   𝐿(𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem 3pthdlem1
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
41, 2, 33wlkdlem3 26904 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5 3wlkd.n . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
6 simpr1l 1116 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐴𝐵)
7 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
9 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
109adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
118, 10neeq12d 2851 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
1211adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
136, 12mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
1413a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
15 simpr1r 1117 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐴𝐶)
16 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
1716adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
188, 17neeq12d 2851 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴𝐶))
1918adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴𝐶))
2015, 19mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
2120a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
2214, 21jca 554 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
23 eqid 2621 . . . . . . . 8 1 = 1
24232a1i 12 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) = (𝑃‘1) → 1 = 1))
2524necon3d 2811 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
26 simpr2l 1118 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐵𝐶)
2710, 17neeq12d 2851 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵𝐶))
2827adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵𝐶))
2926, 28mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
3029a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
3125, 30jca 554 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
3229necomd 2845 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))
3332a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
34 eqid 2621 . . . . . . . 8 2 = 2
35342a1i 12 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘2) = (𝑃‘2) → 2 = 2))
3635necon3d 2811 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
37 simpr2r 1119 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐵𝐷)
38 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
3938adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘3) = 𝐷)
4010, 39neeq12d 2851 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵𝐷))
4140adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵𝐷))
4237, 41mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3))
4342necomd 2845 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))
4443a1d 25 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
45 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
4645necomd 2845 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐷𝐶)
4746adantl 482 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐷𝐶)
48 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘3) = 𝐷)
49 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
5048, 49neeq12d 2851 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5150ancoms 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5251adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5352adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5447, 53mpbird 247 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))
5554a1d 25 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
5644, 55jca 554 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
5733, 36, 56jca31 556 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
5822, 31, 57jca31 556 . . . 4 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
594, 5, 58syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
601fveq2i 6156 . . . . . . . 8 (#‘𝑃) = (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
61 s4len 13588 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
6260, 61eqtri 2643 . . . . . . 7 (#‘𝑃) = 4
6362oveq2i 6621 . . . . . 6 (0..^(#‘𝑃)) = (0..^4)
64 fzo0to42pr 12504 . . . . . 6 (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
6563, 64eqtri 2643 . . . . 5 (0..^(#‘𝑃)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
6665raleqi 3134 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
67 ralunb 3777 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))))
68 c0ex 9986 . . . . . 6 0 ∈ V
69 1ex 9987 . . . . . 6 1 ∈ V
70 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
71 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
7271neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
7370, 72imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
74 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 0 ≠ 2))
7571neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
7674, 75imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
7773, 76anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))))
78 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
79 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
8079neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
8178, 80imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1))))
82 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 1 ≠ 2))
8379neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
8482, 83imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
8581, 84anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
8668, 69, 77, 85ralpr 4214 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
87 2ex 11044 . . . . . 6 2 ∈ V
88 3ex 11048 . . . . . 6 3 ∈ V
89 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
90 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
9190neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
9289, 91imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
93 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 2))
9490neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
9593, 94imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))))
9692, 95anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))))
97 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
98 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘3))
9998neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
10097, 99imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))))
101 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
10298neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
103101, 102imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
104100, 103anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑘 = 3 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
10587, 88, 96, 104ralpr 4214 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
10686, 105anbi12i 732 . . . 4 ((∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
10766, 67, 1063bitri 286 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
10859, 107sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
1092fveq2i 6156 . . . . . . . 8 (#‘𝐹) = (#‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
110 s3len 13583 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
111109, 110eqtri 2643 . . . . . . 7 (#‘𝐹) = 3
112111oveq2i 6621 . . . . . 6 (1..^(#‘𝐹)) = (1..^3)
113 fzo13pr 12501 . . . . . 6 (1..^3) = {1, 2}
114112, 113eqtri 2643 . . . . 5 (1..^(#‘𝐹)) = {1, 2}
115114raleqi 3134 . . . 4 (∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
116 neeq2 2853 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑘𝑗𝑘 ≠ 1))
117 fveq2 6153 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝑃𝑗) = (𝑃‘1))
118117neeq2d 2850 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
119116, 118imbi12d 334 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1))))
120 neeq2 2853 . . . . . 6 (𝑗 = 2 → (𝑘𝑗𝑘 ≠ 2))
121 fveq2 6153 . . . . . . 7 (𝑗 = 2 → (𝑃𝑗) = (𝑃‘2))
122121neeq2d 2850 . . . . . 6 (𝑗 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))
123120, 122imbi12d 334 . . . . 5 (𝑗 = 2 → ((𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
12469, 87, 119, 123ralpr 4214 . . . 4 (∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
125115, 124bitri 264 . . 3 (∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
126125ralbii 2975 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
127108, 126sylibr 224 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  cun 3557  {cpr 4155  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  ..^cfzo 12414  #chash 13065  ⟨“cs3 13532  ⟨“cs4 13533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-concat 13248  df-s1 13249  df-s2 13538  df-s3 13539  df-s4 13540
This theorem is referenced by:  3pthd  26917
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