MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem2 16071
Description: Lemma for 4001prm 16074. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑400 = (2↑200)↑2≡902↑2 = 203𝑁 + 1401 and 2↑800 = (2↑400)↑2≡1401↑2 = 490𝑁 + 2311 ≡2311. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem2 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem2
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 11523 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 11519 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11724 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 11724 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 11243 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 11730 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2835 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 11397 . 2 2 ∈ ℕ
10 9nn0 11528 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
112, 10deccl 11724 . . . 4 49 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 11724 . . 3 490 ∈ ℕ0
1312nn0zi 11614 . 2 490 ∈ ℤ
14 1nn0 11520 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1514, 2deccl 11724 . . . 4 14 ∈ ℕ0
1615, 3deccl 11724 . . 3 140 ∈ ℕ0
1716, 14deccl 11724 . 2 1401 ∈ ℕ0
18 2nn0 11521 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
19 3nn0 11522 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2018, 19deccl 11724 . . . 4 23 ∈ ℕ0
2120, 14deccl 11724 . . 3 231 ∈ ℕ0
2221, 14deccl 11724 . 2 2311 ∈ ℕ0
2318, 3deccl 11724 . . . 4 20 ∈ ℕ0
2423, 3deccl 11724 . . 3 200 ∈ ℕ0
2523, 19deccl 11724 . . . 4 203 ∈ ℕ0
2625nn0zi 11614 . . 3 203 ∈ ℤ
2710, 3deccl 11724 . . . 4 90 ∈ ℕ0
2827, 18deccl 11724 . . 3 902 ∈ ℕ0
2914001lem1 16070 . . 3 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
3024nn0cni 11516 . . . 4 200 ∈ ℂ
31 2cn 11303 . . . 4 2 ∈ ℂ
32 eqid 2760 . . . . 5 200 = 200
33 eqid 2760 . . . . . 6 20 = 20
34 2t2e4 11389 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
3531mul02i 10437 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
3618, 18, 3, 33, 3, 34, 35decmul1 11797 . . . . 5 (20 · 2) = 40
3718, 23, 3, 32, 3, 36, 35decmul1 11797 . . . 4 (200 · 2) = 400
3830, 31, 37mulcomli 10259 . . 3 (2 · 200) = 400
39 eqid 2760 . . . . 5 1401 = 1401
40 6nn0 11525 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
4114, 40deccl 11724 . . . . . 6 16 ∈ ℕ0
42 eqid 2760 . . . . . 6 400 = 400
43 eqid 2760 . . . . . . 7 140 = 140
44 eqid 2760 . . . . . . . 8 14 = 14
45 4p2e6 11374 . . . . . . . 8 (4 + 2) = 6
4614, 2, 18, 44, 45decaddi 11791 . . . . . . 7 (14 + 2) = 16
47 00id 10423 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
4815, 3, 18, 3, 43, 33, 46, 47decadd 11782 . . . . . 6 (140 + 20) = 160
49 eqid 2760 . . . . . . 7 40 = 40
5041nn0cni 11516 . . . . . . . 8 16 ∈ ℂ
5150addid1i 10435 . . . . . . 7 (16 + 0) = 16
52 eqid 2760 . . . . . . . 8 203 = 203
53 ax-1cn 10206 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
5453addid1i 10435 . . . . . . . . 9 (1 + 0) = 1
5514dec0h 11734 . . . . . . . . 9 1 = 01
5654, 55eqtri 2782 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 01
5753addid2i 10436 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
5857, 14eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 (0 + 1) ∈ ℕ0
59 4cn 11310 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
60 4t2e8 11393 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
6159, 31, 60mulcomli 10259 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
6259mul02i 10437 . . . . . . . . . . 11 (0 · 4) = 0
6362, 57oveq12i 6826 . . . . . . . . . 10 ((0 · 4) + (0 + 1)) = (0 + 1)
6463, 57eqtri 2782 . . . . . . . . 9 ((0 · 4) + (0 + 1)) = 1
6518, 3, 58, 33, 2, 61, 64decrmanc 11788 . . . . . . . 8 ((20 · 4) + (0 + 1)) = 81
66 2p1e3 11363 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
67 3cn 11307 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
68 4t3e12 11844 . . . . . . . . . 10 (4 · 3) = 12
6959, 67, 68mulcomli 10259 . . . . . . . . 9 (3 · 4) = 12
7014, 18, 66, 69decsuc 11747 . . . . . . . 8 ((3 · 4) + 1) = 13
7123, 19, 3, 14, 52, 56, 2, 19, 14, 65, 70decmac 11778 . . . . . . 7 ((203 · 4) + (1 + 0)) = 813
7225nn0cni 11516 . . . . . . . . . 10 203 ∈ ℂ
7372mul01i 10438 . . . . . . . . 9 (203 · 0) = 0
7473oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((203 · 0) + 6) = (0 + 6)
75 6cn 11314 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
7675addid2i 10436 . . . . . . . 8 (0 + 6) = 6
7740dec0h 11734 . . . . . . . 8 6 = 06
7874, 76, 773eqtri 2786 . . . . . . 7 ((203 · 0) + 6) = 06
792, 3, 14, 40, 49, 51, 25, 40, 3, 71, 78decma2c 11780 . . . . . 6 ((203 · 40) + (16 + 0)) = 8136
8073oveq1i 6824 . . . . . . 7 ((203 · 0) + 0) = (0 + 0)
813dec0h 11734 . . . . . . 7 0 = 00
8280, 47, 813eqtri 2786 . . . . . 6 ((203 · 0) + 0) = 00
834, 3, 41, 3, 42, 48, 25, 3, 3, 79, 82decma2c 11780 . . . . 5 ((203 · 400) + (140 + 20)) = 81360
8431mulid1i 10254 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
8553mul02i 10437 . . . . . . 7 (0 · 1) = 0
8614, 18, 3, 33, 3, 84, 85decmul1 11797 . . . . . 6 (20 · 1) = 20
8767mulid1i 10254 . . . . . . . 8 (3 · 1) = 3
8887oveq1i 6824 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
89 3p1e4 11365 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
9088, 89eqtri 2782 . . . . . 6 ((3 · 1) + 1) = 4
9123, 19, 14, 52, 14, 86, 90decrmanc 11788 . . . . 5 ((203 · 1) + 1) = 204
925, 14, 16, 14, 1, 39, 25, 2, 23, 83, 91decma2c 11780 . . . 4 ((203 · 𝑁) + 1401) = 813604
93 eqid 2760 . . . . 5 902 = 902
94 8nn0 11527 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
9514, 94deccl 11724 . . . . . 6 18 ∈ ℕ0
9695, 3deccl 11724 . . . . 5 180 ∈ ℕ0
97 eqid 2760 . . . . . 6 90 = 90
98 eqid 2760 . . . . . 6 180 = 180
9995nn0cni 11516 . . . . . . . 8 18 ∈ ℂ
10099addid1i 10435 . . . . . . 7 (18 + 0) = 18
101 1p2e3 11364 . . . . . . . . 9 (1 + 2) = 3
102101, 19eqeltri 2835 . . . . . . . 8 (1 + 2) ∈ ℕ0
103 9t9e81 11882 . . . . . . . 8 (9 · 9) = 81
104 9cn 11320 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
105104mul02i 10437 . . . . . . . . . 10 (0 · 9) = 0
106105, 101oveq12i 6826 . . . . . . . . 9 ((0 · 9) + (1 + 2)) = (0 + 3)
10767addid2i 10436 . . . . . . . . 9 (0 + 3) = 3
108106, 107eqtri 2782 . . . . . . . 8 ((0 · 9) + (1 + 2)) = 3
10910, 3, 102, 97, 10, 103, 108decrmanc 11788 . . . . . . 7 ((90 · 9) + (1 + 2)) = 813
110 9t2e18 11875 . . . . . . . . 9 (9 · 2) = 18
111104, 31, 110mulcomli 10259 . . . . . . . 8 (2 · 9) = 18
112 1p1e2 11346 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
113 8p8e16 11830 . . . . . . . 8 (8 + 8) = 16
11414, 94, 94, 111, 112, 40, 113decaddci 11792 . . . . . . 7 ((2 · 9) + 8) = 26
11527, 18, 14, 94, 93, 100, 10, 40, 18, 109, 114decmac 11778 . . . . . 6 ((902 · 9) + (18 + 0)) = 8136
11628nn0cni 11516 . . . . . . . . 9 902 ∈ ℂ
117116mul01i 10438 . . . . . . . 8 (902 · 0) = 0
118117oveq1i 6824 . . . . . . 7 ((902 · 0) + 0) = (0 + 0)
119118, 47, 813eqtri 2786 . . . . . 6 ((902 · 0) + 0) = 00
12010, 3, 95, 3, 97, 98, 28, 3, 3, 115, 119decma2c 11780 . . . . 5 ((902 · 90) + 180) = 81360
12118, 10, 3, 97, 3, 110, 35decmul1 11797 . . . . . 6 (90 · 2) = 180
12218, 27, 18, 93, 2, 121, 34decmul1 11797 . . . . 5 (902 · 2) = 1804
12328, 27, 18, 93, 2, 96, 120, 122decmul2c 11801 . . . 4 (902 · 902) = 813604
12492, 123eqtr4i 2785 . . 3 ((203 · 𝑁) + 1401) = (902 · 902)
1258, 9, 24, 26, 28, 17, 29, 38, 124mod2xi 15995 . 2 ((2↑400) mod 𝑁) = (1401 mod 𝑁)
1265nn0cni 11516 . . 3 400 ∈ ℂ
12718, 2, 3, 49, 3, 60, 35decmul1 11797 . . . 4 (40 · 2) = 80
12818, 4, 3, 42, 3, 127, 35decmul1 11797 . . 3 (400 · 2) = 800
129126, 31, 128mulcomli 10259 . 2 (2 · 400) = 800
130 eqid 2760 . . . 4 2311 = 2311
13118, 94deccl 11724 . . . . 5 28 ∈ ℕ0
132 eqid 2760 . . . . . 6 231 = 231
133 eqid 2760 . . . . . 6 49 = 49
134 7nn0 11526 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
135 7p1e8 11369 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
136 eqid 2760 . . . . . . . 8 23 = 23
137 4p3e7 11375 . . . . . . . . 9 (4 + 3) = 7
13859, 67, 137addcomli 10440 . . . . . . . 8 (3 + 4) = 7
13918, 19, 2, 136, 138decaddi 11791 . . . . . . 7 (23 + 4) = 27
14018, 134, 135, 139decsuc 11747 . . . . . 6 ((23 + 4) + 1) = 28
141 9p1e10 11708 . . . . . . 7 (9 + 1) = 10
142104, 53, 141addcomli 10440 . . . . . 6 (1 + 9) = 10
14320, 14, 2, 10, 132, 133, 140, 142decaddc2 11787 . . . . 5 (231 + 49) = 280
144131nn0cni 11516 . . . . . . 7 28 ∈ ℂ
145144addid1i 10435 . . . . . 6 (28 + 0) = 28
14631addid1i 10435 . . . . . . . 8 (2 + 0) = 2
147146, 18eqeltri 2835 . . . . . . 7 (2 + 0) ∈ ℕ0
148 eqid 2760 . . . . . . 7 490 = 490
149 4t4e16 11845 . . . . . . . . 9 (4 · 4) = 16
150 6p3e9 11382 . . . . . . . . 9 (6 + 3) = 9
15114, 40, 19, 149, 150decaddi 11791 . . . . . . . 8 ((4 · 4) + 3) = 19
152 9t4e36 11877 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
1532, 2, 10, 133, 40, 19, 151, 152decmul1c 11799 . . . . . . 7 (49 · 4) = 196
15462, 146oveq12i 6826 . . . . . . . 8 ((0 · 4) + (2 + 0)) = (0 + 2)
15531addid2i 10436 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
156154, 155eqtri 2782 . . . . . . 7 ((0 · 4) + (2 + 0)) = 2
15711, 3, 147, 148, 2, 153, 156decrmanc 11788 . . . . . 6 ((490 · 4) + (2 + 0)) = 1962
15812nn0cni 11516 . . . . . . . . 9 490 ∈ ℂ
159158mul01i 10438 . . . . . . . 8 (490 · 0) = 0
160159oveq1i 6824 . . . . . . 7 ((490 · 0) + 8) = (0 + 8)
161 8cn 11318 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
162161addid2i 10436 . . . . . . 7 (0 + 8) = 8
16394dec0h 11734 . . . . . . 7 8 = 08
164160, 162, 1633eqtri 2786 . . . . . 6 ((490 · 0) + 8) = 08
1652, 3, 18, 94, 49, 145, 12, 94, 3, 157, 164decma2c 11780 . . . . 5 ((490 · 40) + (28 + 0)) = 19628
166159oveq1i 6824 . . . . . 6 ((490 · 0) + 0) = (0 + 0)
167166, 47, 813eqtri 2786 . . . . 5 ((490 · 0) + 0) = 00
1684, 3, 131, 3, 42, 143, 12, 3, 3, 165, 167decma2c 11780 . . . 4 ((490 · 400) + (231 + 49)) = 196280
16959mulid1i 10254 . . . . . 6 (4 · 1) = 4
170104mulid1i 10254 . . . . . 6 (9 · 1) = 9
17114, 2, 10, 133, 10, 169, 170decmul1 11797 . . . . 5 (49 · 1) = 49
17285oveq1i 6824 . . . . . 6 ((0 · 1) + 1) = (0 + 1)
173172, 57eqtri 2782 . . . . 5 ((0 · 1) + 1) = 1
17411, 3, 14, 148, 14, 171, 173decrmanc 11788 . . . 4 ((490 · 1) + 1) = 491
1755, 14, 21, 14, 1, 130, 12, 14, 11, 168, 174decma2c 11780 . . 3 ((490 · 𝑁) + 2311) = 1962801
17615nn0cni 11516 . . . . . . 7 14 ∈ ℂ
177176addid1i 10435 . . . . . 6 (14 + 0) = 14
178 5nn0 11524 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
179178, 40deccl 11724 . . . . . . 7 56 ∈ ℕ0
180179, 3deccl 11724 . . . . . 6 560 ∈ ℕ0
181 eqid 2760 . . . . . . . 8 560 = 560
182179nn0cni 11516 . . . . . . . . 9 56 ∈ ℂ
183182addid2i 10436 . . . . . . . 8 (0 + 56) = 56
1843, 14, 179, 3, 55, 181, 183, 54decadd 11782 . . . . . . 7 (1 + 560) = 561
185182addid1i 10435 . . . . . . . 8 (56 + 0) = 56
186 5cn 11312 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
187186addid1i 10435 . . . . . . . . . 10 (5 + 0) = 5
188187, 178eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 (5 + 0) ∈ ℕ0
18953mulid1i 10254 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
190169, 187oveq12i 6826 . . . . . . . . . 10 ((4 · 1) + (5 + 0)) = (4 + 5)
191 5p4e9 11379 . . . . . . . . . . 11 (5 + 4) = 9
192186, 59, 191addcomli 10440 . . . . . . . . . 10 (4 + 5) = 9
193190, 192eqtri 2782 . . . . . . . . 9 ((4 · 1) + (5 + 0)) = 9
19414, 2, 188, 44, 14, 189, 193decrmanc 11788 . . . . . . . 8 ((14 · 1) + (5 + 0)) = 19
19585oveq1i 6824 . . . . . . . . 9 ((0 · 1) + 6) = (0 + 6)
196195, 76, 773eqtri 2786 . . . . . . . 8 ((0 · 1) + 6) = 06
19715, 3, 178, 40, 43, 185, 14, 40, 3, 194, 196decmac 11778 . . . . . . 7 ((140 · 1) + (56 + 0)) = 196
198189oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
19918dec0h 11734 . . . . . . . 8 2 = 02
200198, 112, 1993eqtri 2786 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 02
20116, 14, 179, 14, 39, 184, 14, 18, 3, 197, 200decmac 11778 . . . . . 6 ((1401 · 1) + (1 + 560)) = 1962
20259mulid2i 10255 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
203202oveq1i 6824 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + 1) = (4 + 1)
204 4p1e5 11366 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
205203, 204eqtri 2782 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + 1) = 5
2062, 14, 2, 44, 40, 14, 205, 149decmul1c 11799 . . . . . . . . 9 (14 · 4) = 56
20775addid1i 10435 . . . . . . . . 9 (6 + 0) = 6
208178, 40, 3, 206, 207decaddi 11791 . . . . . . . 8 ((14 · 4) + 0) = 56
209 0cn 10244 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
21059mul01i 10438 . . . . . . . . . 10 (4 · 0) = 0
211210, 81eqtri 2782 . . . . . . . . 9 (4 · 0) = 00
21259, 209, 211mulcomli 10259 . . . . . . . 8 (0 · 4) = 00
2132, 15, 3, 43, 3, 3, 208, 212decmul1c 11799 . . . . . . 7 (140 · 4) = 560
214202oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((1 · 4) + 4) = (4 + 4)
215 4p4e8 11376 . . . . . . . 8 (4 + 4) = 8
216214, 215eqtri 2782 . . . . . . 7 ((1 · 4) + 4) = 8
21716, 14, 2, 39, 2, 213, 216decrmanc 11788 . . . . . 6 ((1401 · 4) + 4) = 5608
21814, 2, 14, 2, 44, 177, 17, 94, 180, 201, 217decma2c 11780 . . . . 5 ((1401 · 14) + (14 + 0)) = 19628
21917nn0cni 11516 . . . . . . . 8 1401 ∈ ℂ
220219mul01i 10438 . . . . . . 7 (1401 · 0) = 0
221220oveq1i 6824 . . . . . 6 ((1401 · 0) + 0) = (0 + 0)
222221, 47, 813eqtri 2786 . . . . 5 ((1401 · 0) + 0) = 00
22315, 3, 15, 3, 43, 43, 17, 3, 3, 218, 222decma2c 11780 . . . 4 ((1401 · 140) + 140) = 196280
224219mulid1i 10254 . . . 4 (1401 · 1) = 1401
22517, 16, 14, 39, 14, 16, 223, 224decmul2c 11801 . . 3 (1401 · 1401) = 1962801
226175, 225eqtr4i 2785 . 2 ((490 · 𝑁) + 2311) = (1401 · 1401)
2278, 9, 5, 13, 17, 22, 125, 129, 226mod2xi 15995 1 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cn 11232  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  5c5 11285  6c6 11286  7c7 11287  8c8 11288  9c9 11289  0cn0 11504  cdc 11705   mod cmo 12882  cexp 13074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075
This theorem is referenced by:  4001lem3  16072  4001lem4  16073
  Copyright terms: Public domain W3C validator