MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem3 15781
Description: Lemma for 4001prm 15783. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑1000 = 2↑800 · 2↑200≡2311 · 902 = 521𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1000)↑4≡1↑4 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem3 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem3
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 11262 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 11258 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11463 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 11463 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 10982 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 11469 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2694 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 11136 . 2 2 ∈ ℕ
10 2nn0 11260 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 11463 . . . 4 20 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 11463 . . 3 200 ∈ ℕ0
1312, 3deccl 11463 . 2 2000 ∈ ℕ0
14 0z 11339 . 2 0 ∈ ℤ
15 1nn0 11259 . 2 1 ∈ ℕ0
16 10nn0 11467 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
1716, 3deccl 11463 . . . 4 100 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 11463 . . 3 1000 ∈ ℕ0
19 8nn0 11266 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
2019, 3deccl 11463 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
2120, 3deccl 11463 . . . 4 800 ∈ ℕ0
22 5nn0 11263 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
2322, 10deccl 11463 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
2423, 15deccl 11463 . . . . 5 521 ∈ ℕ0
2524nn0zi 11353 . . . 4 521 ∈ ℤ
26 3nn0 11261 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2710, 26deccl 11463 . . . . . 6 23 ∈ ℕ0
2827, 15deccl 11463 . . . . 5 231 ∈ ℕ0
2928, 15deccl 11463 . . . 4 2311 ∈ ℕ0
30 9nn0 11267 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 11463 . . . . 5 90 ∈ ℕ0
3231, 10deccl 11463 . . . 4 902 ∈ ℕ0
3314001lem2 15780 . . . 4 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
3414001lem1 15779 . . . 4 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
35 eqid 2621 . . . . 5 800 = 800
36 eqid 2621 . . . . 5 200 = 200
37 eqid 2621 . . . . . 6 80 = 80
38 eqid 2621 . . . . . 6 20 = 20
39 8p2e10 11561 . . . . . 6 (8 + 2) = 10
40 00id 10162 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4119, 3, 10, 3, 37, 38, 39, 40decadd 11521 . . . . 5 (80 + 20) = 100
4220, 3, 11, 3, 35, 36, 41, 40decadd 11521 . . . 4 (800 + 200) = 1000
4315dec0h 11473 . . . . . 6 1 = 01
44 eqid 2621 . . . . . . 7 400 = 400
4523nn0cni 11255 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
4645addid2i 10175 . . . . . . 7 (0 + 52) = 52
47 eqid 2621 . . . . . . . 8 40 = 40
48 5cn 11051 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
4948addid1i 10174 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
5022dec0h 11473 . . . . . . . . 9 5 = 05
5149, 50eqtri 2643 . . . . . . . 8 (5 + 0) = 05
5240, 3eqeltri 2694 . . . . . . . . 9 (0 + 0) ∈ ℕ0
53 eqid 2621 . . . . . . . . 9 521 = 521
54 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 52 = 52
55 5t4e20 11588 . . . . . . . . . 10 (5 · 4) = 20
56 4cn 11049 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
57 2cn 11042 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
58 4t2e8 11132 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
5956, 57, 58mulcomli 9998 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
602, 22, 10, 54, 19, 55, 59decmul1 11536 . . . . . . . . 9 (52 · 4) = 208
6156mulid2i 9994 . . . . . . . . . . 11 (1 · 4) = 4
6261, 40oveq12i 6622 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (0 + 0)) = (4 + 0)
6356addid1i 10174 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 4
6462, 63eqtri 2643 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (0 + 0)) = 4
6523, 15, 52, 53, 2, 60, 64decrmanc 11527 . . . . . . . 8 ((521 · 4) + (0 + 0)) = 2084
6624nn0cni 11255 . . . . . . . . . . 11 521 ∈ ℂ
6766mul01i 10177 . . . . . . . . . 10 (521 · 0) = 0
6867oveq1i 6620 . . . . . . . . 9 ((521 · 0) + 5) = (0 + 5)
6948addid2i 10175 . . . . . . . . 9 (0 + 5) = 5
7068, 69, 503eqtri 2647 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 5) = 05
712, 3, 3, 22, 47, 51, 24, 22, 3, 65, 70decma2c 11519 . . . . . . 7 ((521 · 40) + (5 + 0)) = 20845
7267oveq1i 6620 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 2) = (0 + 2)
7357addid2i 10175 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7410dec0h 11473 . . . . . . . 8 2 = 02
7572, 73, 743eqtri 2647 . . . . . . 7 ((521 · 0) + 2) = 02
764, 3, 22, 10, 44, 46, 24, 10, 3, 71, 75decma2c 11519 . . . . . 6 ((521 · 400) + (0 + 52)) = 208452
7745mulid1i 9993 . . . . . . 7 (52 · 1) = 52
78 ax-1cn 9945 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
7978mulid2i 9994 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
8079oveq1i 6620 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
81 1p1e2 11085 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
8280, 81eqtri 2643 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 2
8323, 15, 15, 53, 15, 77, 82decrmanc 11527 . . . . . 6 ((521 · 1) + 1) = 522
845, 15, 3, 15, 1, 43, 24, 10, 23, 76, 83decma2c 11519 . . . . 5 ((521 · 𝑁) + 1) = 2084522
85 eqid 2621 . . . . . 6 902 = 902
86 6nn0 11264 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
872, 86deccl 11463 . . . . . . 7 46 ∈ ℕ0
8887, 10deccl 11463 . . . . . 6 462 ∈ ℕ0
89 eqid 2621 . . . . . . 7 90 = 90
90 eqid 2621 . . . . . . 7 462 = 462
91 eqid 2621 . . . . . . . 8 2311 = 2311
9287nn0cni 11255 . . . . . . . . 9 46 ∈ ℂ
9392addid1i 10174 . . . . . . . 8 (46 + 0) = 46
94 4p1e5 11105 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
9594, 22eqeltri 2694 . . . . . . . . 9 (4 + 1) ∈ ℕ0
96 eqid 2621 . . . . . . . . 9 231 = 231
97 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 23 = 23
98 9cn 11059 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
99 9t2e18 11614 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 2) = 18
10098, 57, 99mulcomli 9998 . . . . . . . . . . 11 (2 · 9) = 18
10115, 19, 10, 100, 81, 39decaddci2 11532 . . . . . . . . . 10 ((2 · 9) + 2) = 20
102 7nn0 11265 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
103 7p1e8 11108 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
104 3cn 11046 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
105 9t3e27 11615 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 3) = 27
10698, 104, 105mulcomli 9998 . . . . . . . . . . 11 (3 · 9) = 27
10710, 102, 103, 106decsuc 11486 . . . . . . . . . 10 ((3 · 9) + 1) = 28
10810, 26, 15, 97, 30, 19, 10, 101, 107decrmac 11528 . . . . . . . . 9 ((23 · 9) + 1) = 208
10998mulid2i 9994 . . . . . . . . . . 11 (1 · 9) = 9
110109, 94oveq12i 6622 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + (4 + 1)) = (9 + 5)
111 9p5e14 11574 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
112110, 111eqtri 2643 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + (4 + 1)) = 14
11327, 15, 95, 96, 30, 2, 15, 108, 112decrmac 11528 . . . . . . . 8 ((231 · 9) + (4 + 1)) = 2084
114109oveq1i 6620 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 6) = (9 + 6)
115 9p6e15 11575 . . . . . . . . 9 (9 + 6) = 15
116114, 115eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 6) = 15
11728, 15, 2, 86, 91, 93, 30, 22, 15, 113, 116decmac 11517 . . . . . . 7 ((2311 · 9) + (46 + 0)) = 20845
11829nn0cni 11255 . . . . . . . . . 10 2311 ∈ ℂ
119118mul01i 10177 . . . . . . . . 9 (2311 · 0) = 0
120119oveq1i 6620 . . . . . . . 8 ((2311 · 0) + 2) = (0 + 2)
121120, 73, 743eqtri 2647 . . . . . . 7 ((2311 · 0) + 2) = 02
12230, 3, 87, 10, 89, 90, 29, 10, 3, 117, 121decma2c 11519 . . . . . 6 ((2311 · 90) + 462) = 208452
123 2t2e4 11128 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
124 3t2e6 11130 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = 6
12510, 10, 26, 97, 86, 123, 124decmul1 11536 . . . . . . . 8 (23 · 2) = 46
12657mulid2i 9994 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
12710, 27, 15, 96, 10, 125, 126decmul1 11536 . . . . . . 7 (231 · 2) = 462
12810, 28, 15, 91, 10, 127, 126decmul1 11536 . . . . . 6 (2311 · 2) = 4622
12929, 31, 10, 85, 10, 88, 122, 128decmul2c 11540 . . . . 5 (2311 · 902) = 2084522
13084, 129eqtr4i 2646 . . . 4 ((521 · 𝑁) + 1) = (2311 · 902)
1318, 9, 21, 25, 29, 15, 12, 32, 33, 34, 42, 130modxai 15703 . . 3 ((2↑1000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
13218nn0cni 11255 . . . 4 1000 ∈ ℂ
133 eqid 2621 . . . . 5 1000 = 1000
134 eqid 2621 . . . . . 6 100 = 100
13510dec0u 11471 . . . . . 6 (10 · 2) = 20
13657mul02i 10176 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
13710, 16, 3, 134, 3, 135, 136decmul1 11536 . . . . 5 (100 · 2) = 200
13810, 17, 3, 133, 3, 137, 136decmul1 11536 . . . 4 (1000 · 2) = 2000
139132, 57, 138mulcomli 9998 . . 3 (2 · 1000) = 2000
1408nncni 10981 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
141140mul02i 10176 . . . . 5 (0 · 𝑁) = 0
142141oveq1i 6620 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
14378addid2i 10175 . . . . 5 (0 + 1) = 1
14479, 143eqtr4i 2646 . . . 4 (1 · 1) = (0 + 1)
145142, 144eqtr4i 2646 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
1468, 9, 18, 14, 15, 15, 131, 139, 145mod2xi 15704 . 2 ((2↑2000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
14713nn0cni 11255 . . . 4 2000 ∈ ℂ
148 eqid 2621 . . . . 5 2000 = 2000
14910, 10, 3, 38, 3, 123, 136decmul1 11536 . . . . . 6 (20 · 2) = 40
15010, 11, 3, 36, 3, 149, 136decmul1 11536 . . . . 5 (200 · 2) = 400
15110, 12, 3, 148, 3, 150, 136decmul1 11536 . . . 4 (2000 · 2) = 4000
152147, 57, 151mulcomli 9998 . . 3 (2 · 2000) = 4000
1535, 3deccl 11463 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
154153nn0cni 11255 . . . 4 4000 ∈ ℂ
155 eqid 2621 . . . . . 6 4000 = 4000
1565, 3, 143, 155decsuc 11486 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1571, 156eqtr4i 2646 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
158154, 78, 157mvrraddi 10249 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
159152, 158eqtr4i 2646 . 2 (2 · 2000) = (𝑁 − 1)
1608, 9, 13, 14, 15, 15, 146, 159, 145mod2xi 15704 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  (class class class)co 6610  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  cmin 10217  cn 10971  2c2 11021  3c3 11022  4c4 11023  5c5 11024  6c6 11025  7c7 11026  8c8 11027  9c9 11028  0cn0 11243  cdc 11444   mod cmo 12615  cexp 12807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808
This theorem is referenced by:  4001prm  15783
  Copyright terms: Public domain W3C validator