MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem3 16464
Description: Lemma for 4001prm 16466. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑1000 = 2↑800 · 2↑200≡2311 · 902 = 521𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1000)↑4≡1↑4 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem3 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem3
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 11904 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 11900 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12101 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 12101 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 11637 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 12106 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2906 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 11698 . 2 2 ∈ ℕ
10 2nn0 11902 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 12101 . . . 4 20 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 12101 . . 3 200 ∈ ℕ0
1312, 3deccl 12101 . 2 2000 ∈ ℕ0
14 0z 11980 . 2 0 ∈ ℤ
15 1nn0 11901 . 2 1 ∈ ℕ0
16 10nn0 12104 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
1716, 3deccl 12101 . . . 4 100 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 12101 . . 3 1000 ∈ ℕ0
19 8nn0 11908 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
2019, 3deccl 12101 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
2120, 3deccl 12101 . . . 4 800 ∈ ℕ0
22 5nn0 11905 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
2322, 10deccl 12101 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
2423, 15deccl 12101 . . . . 5 521 ∈ ℕ0
2524nn0zi 11995 . . . 4 521 ∈ ℤ
26 3nn0 11903 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2710, 26deccl 12101 . . . . . 6 23 ∈ ℕ0
2827, 15deccl 12101 . . . . 5 231 ∈ ℕ0
2928, 15deccl 12101 . . . 4 2311 ∈ ℕ0
30 9nn0 11909 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 12101 . . . . 5 90 ∈ ℕ0
3231, 10deccl 12101 . . . 4 902 ∈ ℕ0
3314001lem2 16463 . . . 4 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
3414001lem1 16462 . . . 4 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
35 eqid 2818 . . . . 5 800 = 800
36 eqid 2818 . . . . 5 200 = 200
37 eqid 2818 . . . . . 6 80 = 80
38 eqid 2818 . . . . . 6 20 = 20
39 8p2e10 12166 . . . . . 6 (8 + 2) = 10
40 00id 10803 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4119, 3, 10, 3, 37, 38, 39, 40decadd 12140 . . . . 5 (80 + 20) = 100
4220, 3, 11, 3, 35, 36, 41, 40decadd 12140 . . . 4 (800 + 200) = 1000
4315dec0h 12108 . . . . . 6 1 = 01
44 eqid 2818 . . . . . . 7 400 = 400
4523nn0cni 11897 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
4645addid2i 10816 . . . . . . 7 (0 + 52) = 52
47 eqid 2818 . . . . . . . 8 40 = 40
48 5cn 11713 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
4948addid1i 10815 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
5022dec0h 12108 . . . . . . . . 9 5 = 05
5149, 50eqtri 2841 . . . . . . . 8 (5 + 0) = 05
5240, 3eqeltri 2906 . . . . . . . . 9 (0 + 0) ∈ ℕ0
53 eqid 2818 . . . . . . . . 9 521 = 521
54 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 52 = 52
55 5t4e20 12188 . . . . . . . . . 10 (5 · 4) = 20
56 4cn 11710 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
57 2cn 11700 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
58 4t2e8 11793 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
5956, 57, 58mulcomli 10638 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
602, 22, 10, 54, 55, 59decmul1 12150 . . . . . . . . 9 (52 · 4) = 208
6156mulid2i 10634 . . . . . . . . . . 11 (1 · 4) = 4
6261, 40oveq12i 7157 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (0 + 0)) = (4 + 0)
6356addid1i 10815 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 4
6462, 63eqtri 2841 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (0 + 0)) = 4
6523, 15, 52, 53, 2, 60, 64decrmanc 12143 . . . . . . . 8 ((521 · 4) + (0 + 0)) = 2084
6624nn0cni 11897 . . . . . . . . . . 11 521 ∈ ℂ
6766mul01i 10818 . . . . . . . . . 10 (521 · 0) = 0
6867oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((521 · 0) + 5) = (0 + 5)
6948addid2i 10816 . . . . . . . . 9 (0 + 5) = 5
7068, 69, 503eqtri 2845 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 5) = 05
712, 3, 3, 22, 47, 51, 24, 22, 3, 65, 70decma2c 12139 . . . . . . 7 ((521 · 40) + (5 + 0)) = 20845
7267oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 2) = (0 + 2)
7357addid2i 10816 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7410dec0h 12108 . . . . . . . 8 2 = 02
7572, 73, 743eqtri 2845 . . . . . . 7 ((521 · 0) + 2) = 02
764, 3, 22, 10, 44, 46, 24, 10, 3, 71, 75decma2c 12139 . . . . . 6 ((521 · 400) + (0 + 52)) = 208452
7745mulid1i 10633 . . . . . . 7 (52 · 1) = 52
78 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
7978mulid2i 10634 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
8079oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
81 1p1e2 11750 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
8280, 81eqtri 2841 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 2
8323, 15, 15, 53, 15, 77, 82decrmanc 12143 . . . . . 6 ((521 · 1) + 1) = 522
845, 15, 3, 15, 1, 43, 24, 10, 23, 76, 83decma2c 12139 . . . . 5 ((521 · 𝑁) + 1) = 2084522
85 eqid 2818 . . . . . 6 902 = 902
86 6nn0 11906 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
872, 86deccl 12101 . . . . . . 7 46 ∈ ℕ0
8887, 10deccl 12101 . . . . . 6 462 ∈ ℕ0
89 eqid 2818 . . . . . . 7 90 = 90
90 eqid 2818 . . . . . . 7 462 = 462
91 eqid 2818 . . . . . . . 8 2311 = 2311
9287nn0cni 11897 . . . . . . . . 9 46 ∈ ℂ
9392addid1i 10815 . . . . . . . 8 (46 + 0) = 46
94 4p1e5 11771 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
9594, 22eqeltri 2906 . . . . . . . . 9 (4 + 1) ∈ ℕ0
96 eqid 2818 . . . . . . . . 9 231 = 231
97 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 23 = 23
98 9cn 11725 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
99 9t2e18 12208 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 2) = 18
10098, 57, 99mulcomli 10638 . . . . . . . . . . 11 (2 · 9) = 18
10115, 19, 10, 100, 81, 39decaddci2 12148 . . . . . . . . . 10 ((2 · 9) + 2) = 20
102 7nn0 11907 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
103 7p1e8 11774 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
104 3cn 11706 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
105 9t3e27 12209 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 3) = 27
10698, 104, 105mulcomli 10638 . . . . . . . . . . 11 (3 · 9) = 27
10710, 102, 103, 106decsuc 12117 . . . . . . . . . 10 ((3 · 9) + 1) = 28
10810, 26, 15, 97, 30, 19, 10, 101, 107decrmac 12144 . . . . . . . . 9 ((23 · 9) + 1) = 208
10998mulid2i 10634 . . . . . . . . . . 11 (1 · 9) = 9
110109, 94oveq12i 7157 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + (4 + 1)) = (9 + 5)
111 9p5e14 12176 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
112110, 111eqtri 2841 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + (4 + 1)) = 14
11327, 15, 95, 96, 30, 2, 15, 108, 112decrmac 12144 . . . . . . . 8 ((231 · 9) + (4 + 1)) = 2084
114109oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 6) = (9 + 6)
115 9p6e15 12177 . . . . . . . . 9 (9 + 6) = 15
116114, 115eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 6) = 15
11728, 15, 2, 86, 91, 93, 30, 22, 15, 113, 116decmac 12138 . . . . . . 7 ((2311 · 9) + (46 + 0)) = 20845
11829nn0cni 11897 . . . . . . . . . 10 2311 ∈ ℂ
119118mul01i 10818 . . . . . . . . 9 (2311 · 0) = 0
120119oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((2311 · 0) + 2) = (0 + 2)
121120, 73, 743eqtri 2845 . . . . . . 7 ((2311 · 0) + 2) = 02
12230, 3, 87, 10, 89, 90, 29, 10, 3, 117, 121decma2c 12139 . . . . . 6 ((2311 · 90) + 462) = 208452
123 2t2e4 11789 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
124 3t2e6 11791 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = 6
12510, 10, 26, 97, 123, 124decmul1 12150 . . . . . . . 8 (23 · 2) = 46
12657mulid2i 10634 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
12710, 27, 15, 96, 125, 126decmul1 12150 . . . . . . 7 (231 · 2) = 462
12810, 28, 15, 91, 127, 126decmul1 12150 . . . . . 6 (2311 · 2) = 4622
12929, 31, 10, 85, 10, 88, 122, 128decmul2c 12152 . . . . 5 (2311 · 902) = 2084522
13084, 129eqtr4i 2844 . . . 4 ((521 · 𝑁) + 1) = (2311 · 902)
1318, 9, 21, 25, 29, 15, 12, 32, 33, 34, 42, 130modxai 16392 . . 3 ((2↑1000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
13218nn0cni 11897 . . . 4 1000 ∈ ℂ
133 eqid 2818 . . . . 5 1000 = 1000
134 eqid 2818 . . . . . 6 100 = 100
13510dec0u 12107 . . . . . 6 (10 · 2) = 20
13657mul02i 10817 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
13710, 16, 3, 134, 135, 136decmul1 12150 . . . . 5 (100 · 2) = 200
13810, 17, 3, 133, 137, 136decmul1 12150 . . . 4 (1000 · 2) = 2000
139132, 57, 138mulcomli 10638 . . 3 (2 · 1000) = 2000
1408nncni 11636 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
141140mul02i 10817 . . . . 5 (0 · 𝑁) = 0
142141oveq1i 7155 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
14378addid2i 10816 . . . . 5 (0 + 1) = 1
14479, 143eqtr4i 2844 . . . 4 (1 · 1) = (0 + 1)
145142, 144eqtr4i 2844 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
1468, 9, 18, 14, 15, 15, 131, 139, 145mod2xi 16393 . 2 ((2↑2000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
14713nn0cni 11897 . . . 4 2000 ∈ ℂ
148 eqid 2818 . . . . 5 2000 = 2000
14910, 10, 3, 38, 123, 136decmul1 12150 . . . . . 6 (20 · 2) = 40
15010, 11, 3, 36, 149, 136decmul1 12150 . . . . 5 (200 · 2) = 400
15110, 12, 3, 148, 150, 136decmul1 12150 . . . 4 (2000 · 2) = 4000
152147, 57, 151mulcomli 10638 . . 3 (2 · 2000) = 4000
1535, 3deccl 12101 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
154153nn0cni 11897 . . . 4 4000 ∈ ℂ
155 eqid 2818 . . . . . 6 4000 = 4000
1565, 3, 143, 155decsuc 12117 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1571, 156eqtr4i 2844 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
158154, 78, 157mvrraddi 10891 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
159152, 158eqtr4i 2844 . 2 (2 · 2000) = (𝑁 − 1)
1608, 9, 13, 14, 15, 15, 146, 159, 145mod2xi 16393 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  0cn0 11885  cdc 12086   mod cmo 13225  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  4001prm  16466
  Copyright terms: Public domain W3C validator