MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001prm 15783
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 15746 . 2 5 ∈ ℙ
2 8nn 11142 . . . 4 8 ∈ ℕ
32decnncl2 11476 . . 3 80 ∈ ℕ
43decnncl2 11476 . 2 800 ∈ ℕ
5 4nn0 11262 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
6 0nn0 11258 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
75, 6deccl 11463 . . . . . . 7 40 ∈ ℕ0
87, 6deccl 11463 . . . . . 6 400 ∈ ℕ0
98, 6deccl 11463 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
109nn0cni 11255 . . . 4 4000 ∈ ℂ
11 ax-1cn 9945 . . . 4 1 ∈ ℂ
12 4001prm.1 . . . . 5 𝑁 = 4001
1311addid2i 10175 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
14 eqid 2621 . . . . . 6 4000 = 4000
158, 6, 13, 14decsuc 11486 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1612, 15eqtr4i 2646 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
1710, 11, 16mvrraddi 10249 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
18 5nn0 11263 . . . 4 5 ∈ ℕ0
19 8nn0 11266 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2019, 6deccl 11463 . . . 4 80 ∈ ℕ0
21 eqid 2621 . . . 4 800 = 800
22 eqid 2621 . . . . 5 80 = 80
23 8t5e40 11608 . . . . 5 (8 · 5) = 40
24 5cn 11051 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
2524mul02i 10176 . . . . 5 (0 · 5) = 0
2618, 19, 6, 22, 6, 23, 25decmul1 11536 . . . 4 (80 · 5) = 400
2718, 20, 6, 21, 6, 26, 25decmul1 11536 . . 3 (800 · 5) = 4000
2817, 27eqtr4i 2646 . 2 (𝑁 − 1) = (800 · 5)
29 1nn0 11259 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
308, 29deccl 11463 . . . . . 6 4001 ∈ ℕ0
3112, 30eqeltri 2694 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
3231nn0cni 11255 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
33 npcan 10241 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3432, 11, 33mp2an 707 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
3534eqcomi 2630 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36 3nn0 11261 . . 3 3 ∈ ℕ0
37 2nn 11136 . . 3 2 ∈ ℕ
3836, 37decnncl 11469 . 2 32 ∈ ℕ
39 3nn 11137 . 2 3 ∈ ℕ
40 2nn0 11260 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
4136, 40deccl 11463 . . . 4 32 ∈ ℕ0
4229, 40deccl 11463 . . . 4 12 ∈ ℕ0
43 2p1e3 11102 . . . . 5 (2 + 1) = 3
4424sqvali 12890 . . . . . . 7 (5↑2) = (5 · 5)
45 5t5e25 11590 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
4644, 45eqtri 2643 . . . . . 6 (5↑2) = 25
47 2cn 11042 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
48 5t2e10 11585 . . . . . . . 8 (5 · 2) = 10
4924, 47, 48mulcomli 9998 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
5047addid2i 10175 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
5129, 6, 40, 49, 50decaddi 11530 . . . . . 6 ((2 · 5) + 2) = 12
5218, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45decmul1c 11538 . . . . 5 ((5↑2) · 5) = 125
5318, 40, 43, 52numexpp1 15713 . . . 4 (5↑3) = 125
54 6nn0 11264 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
5529, 54deccl 11463 . . . 4 16 ∈ ℕ0
56 eqid 2621 . . . . 5 12 = 12
57 eqid 2621 . . . . 5 16 = 16
58 7nn0 11265 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
59 7cn 11055 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
60 7p1e8 11108 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6159, 11, 60addcomli 10179 . . . . . . 7 (1 + 7) = 8
6261, 19eqeltri 2694 . . . . . 6 (1 + 7) ∈ ℕ0
63 eqid 2621 . . . . . 6 32 = 32
64 3t1e3 11129 . . . . . . . 8 (3 · 1) = 3
6564oveq1i 6620 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66 3p1e4 11104 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
6765, 66eqtri 2643 . . . . . 6 ((3 · 1) + 1) = 4
68 2t1e2 11127 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
6968, 61oveq12i 6622 . . . . . . 7 ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70 8cn 11057 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
71 8p2e10 11561 . . . . . . . 8 (8 + 2) = 10
7270, 47, 71addcomli 10179 . . . . . . 7 (2 + 8) = 10
7369, 72eqtri 2643 . . . . . 6 ((2 · 1) + (1 + 7)) = 10
7436, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73decrmac 11528 . . . . 5 ((32 · 1) + (1 + 7)) = 40
75 3t2e6 11130 . . . . . . . 8 (3 · 2) = 6
7675oveq1i 6620 . . . . . . 7 ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77 6p1e7 11107 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
7876, 77eqtri 2643 . . . . . 6 ((3 · 2) + 1) = 7
79 2t2e4 11128 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
8079oveq1i 6620 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81 6cn 11053 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
82 4cn 11049 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
83 6p4e10 11549 . . . . . . . 8 (6 + 4) = 10
8481, 82, 83addcomli 10179 . . . . . . 7 (4 + 6) = 10
8580, 84eqtri 2643 . . . . . 6 ((2 · 2) + 6) = 10
8636, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85decrmac 11528 . . . . 5 ((32 · 2) + 6) = 70
8729, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86decma2c 11519 . . . 4 ((32 · 12) + 16) = 400
88 5p1e6 11106 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
89 3cn 11046 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
90 5t3e15 11586 . . . . . . 7 (5 · 3) = 15
9124, 89, 90mulcomli 9998 . . . . . 6 (3 · 5) = 15
9229, 18, 88, 91decsuc 11486 . . . . 5 ((3 · 5) + 1) = 16
9318, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49decmul1c 11538 . . . 4 (32 · 5) = 160
9441, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93decmul2c 11540 . . 3 (32 · (5↑3)) = 4000
9517, 94eqtr4i 2646 . 2 (𝑁 − 1) = (32 · (5↑3))
96 2lt10 11631 . . . 4 2 < 10
97 1nn 10982 . . . . 5 1 ∈ ℕ
98 3lt10 11630 . . . . 5 3 < 10
9997, 40, 36, 98declti 11497 . . . 4 3 < 12
10036, 42, 40, 18, 96, 99decltc 11483 . . 3 32 < 125
101100, 53breqtrri 4645 . 2 32 < (5↑3)
102124001lem3 15781 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103124001lem4 15782 . 2 (((2↑800) − 1) gcd 𝑁) = 1
1041, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103pockthi 15542 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6610  cc 9885  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892   < clt 10025  cmin 10217  2c2 11021  3c3 11022  4c4 11023  5c5 11024  6c6 11025  7c7 11026  8c8 11027  0cn0 11243  cdc 11444  cexp 12807  cprime 15316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-xnn0 11315  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-dvds 14915  df-gcd 15148  df-prm 15317  df-odz 15401  df-phi 15402  df-pc 15473
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator