Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  41prothprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 41prothprm 42044
Description: 41 is a Proth prime. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
41prothprm.p 𝑃 = 41
Assertion
Ref Expression
41prothprm (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem 41prothprm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 41prothprm.p . . 3 𝑃 = 41
2141prothprmlem2 42043 . 2 ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
3 dfdec10 11687 . . 3 41 = ((10 · 4) + 1)
4 4t2e8 11371 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
5 4cn 11288 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
6 2cn 11281 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
75, 6mulcomi 10236 . . . . . . . 8 (4 · 2) = (2 · 4)
84, 7eqtr3i 2782 . . . . . . 7 8 = (2 · 4)
98oveq2i 6822 . . . . . 6 (5 · 8) = (5 · (2 · 4))
10 5cn 11290 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
1110, 6, 5mulassi 10239 . . . . . 6 ((5 · 2) · 4) = (5 · (2 · 4))
12 5t2e10 11824 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
1312oveq1i 6821 . . . . . 6 ((5 · 2) · 4) = (10 · 4)
149, 11, 133eqtr2i 2786 . . . . 5 (5 · 8) = (10 · 4)
15 cu2 13155 . . . . . . 7 (2↑3) = 8
1615eqcomi 2767 . . . . . 6 8 = (2↑3)
1716oveq2i 6822 . . . . 5 (5 · 8) = (5 · (2↑3))
1814, 17eqtr3i 2782 . . . 4 (10 · 4) = (5 · (2↑3))
1918oveq1i 6821 . . 3 ((10 · 4) + 1) = ((5 · (2↑3)) + 1)
201, 3, 193eqtri 2784 . 2 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)
21 simpr 479 . . 3 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1))
22 3nn 11376 . . . . 5 3 ∈ ℕ
2322a1i 11 . . . 4 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 3 ∈ ℕ)
24 5nn 11378 . . . . 5 5 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . 4 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 ∈ ℕ)
26 5lt8 11407 . . . . . 6 5 < 8
2726, 15breqtrri 4829 . . . . 5 5 < (2↑3)
2827a1i 11 . . . 4 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 < (2↑3))
29 3z 11600 . . . . . . 7 3 ∈ ℤ
3029a1i 11 . . . . . 6 (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → 3 ∈ ℤ)
31 oveq1 6818 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 3 → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑((𝑃 − 1) / 2)))
3231oveq1d 6826 . . . . . . . 8 (𝑥 = 3 → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
3332eqeq1d 2760 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
3433adantl 473 . . . . . 6 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑥 = 3) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35 id 22 . . . . . 6 (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
3630, 34, 35rspcedvd 3454 . . . . 5 (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
3736adantr 472 . . . 4 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
3823, 25, 21, 28, 37proththd 42039 . . 3 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
3921, 38jca 555 . 2 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
402, 20, 39mp2an 710 1 (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wrex 3049   class class class wbr 4802  (class class class)co 6811  0cc0 10126  1c1 10127   + caddc 10129   · cmul 10131   < clt 10264  cmin 10456  -cneg 10457   / cdiv 10874  cn 11210  2c2 11260  3c3 11261  4c4 11262  5c5 11263  8c8 11266  cz 11567  cdc 11683   mod cmo 12860  cexp 13052  cprime 15585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-inf 8512  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-xnn0 11554  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-mod 12861  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-dvds 15181  df-gcd 15417  df-prm 15586  df-odz 15670  df-phi 15671  df-pc 15742
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator