Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  41prothprmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 41prothprmlem2 40860
Description: Lemma 2 for 41prothprm 40861. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
41prothprm.p 𝑃 = 41
Assertion
Ref Expression
41prothprmlem2 ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)

Proof of Theorem 41prothprmlem2
StepHypRef Expression
1 41prothprm.p . . . . 5 𝑃 = 41
2141prothprmlem1 40859 . . . 4 ((𝑃 − 1) / 2) = 20
32oveq2i 6621 . . 3 (3↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑20)
43oveq1i 6620 . 2 ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑20) mod 𝑃)
5 5cn 11052 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
6 4cn 11050 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
7 5t4e20 11589 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
85, 6, 7mulcomli 9999 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
98eqcomi 2630 . . . . . . 7 20 = (4 · 5)
109oveq2i 6621 . . . . . 6 (3↑20) = (3↑(4 · 5))
11 3cn 11047 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
12 4nn0 11263 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
13 5nn0 11264 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
14 expmul 12853 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) → (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5))
1511, 12, 13, 14mp3an 1421 . . . . . 6 (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5)
1610, 15eqtri 2643 . . . . 5 (3↑20) = ((3↑4)↑5)
1716oveq1i 6620 . . . 4 ((3↑20) mod 41) = (((3↑4)↑5) mod 41)
18 3z 11362 . . . . . . 7 3 ∈ ℤ
19 zexpcl 12823 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑4) ∈ ℤ)
2018, 12, 19mp2an 707 . . . . . 6 (3↑4) ∈ ℤ
21 neg1z 11365 . . . . . 6 -1 ∈ ℤ
2220, 21pm3.2i 471 . . . . 5 ((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ)
23 1nn 10983 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
2412, 23decnncl 11470 . . . . . . 7 41 ∈ ℕ
25 nnrp 11794 . . . . . . 7 (41 ∈ ℕ → 41 ∈ ℝ+)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 41 ∈ ℝ+
2713, 26pm3.2i 471 . . . . 5 (5 ∈ ℕ041 ∈ ℝ+)
28 3exp4mod41 40858 . . . . 5 ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)
29 modexp 12947 . . . . 5 ((((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (5 ∈ ℕ041 ∈ ℝ+) ∧ ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)) → (((3↑4)↑5) mod 41) = ((-1↑5) mod 41))
3022, 27, 28, 29mp3an 1421 . . . 4 (((3↑4)↑5) mod 41) = ((-1↑5) mod 41)
31 3p2e5 11112 . . . . . . . 8 (3 + 2) = 5
3231eqcomi 2630 . . . . . . 7 5 = (3 + 2)
3332oveq2i 6621 . . . . . 6 (-1↑5) = (-1↑(3 + 2))
34 2z 11361 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
35 m1expaddsub 17850 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2)))
3618, 34, 35mp2an 707 . . . . . . 7 (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2))
3736eqcomi 2630 . . . . . 6 (-1↑(3 + 2)) = (-1↑(3 − 2))
38 2cn 11043 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
39 ax-1cn 9946 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
40 2p1e3 11103 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
4111, 38, 39, 40subaddrii 10322 . . . . . . . 8 (3 − 2) = 1
4241oveq2i 6621 . . . . . . 7 (-1↑(3 − 2)) = (-1↑1)
43 neg1cn 11076 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
44 exp1 12814 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1↑1) = -1
4642, 45eqtri 2643 . . . . . 6 (-1↑(3 − 2)) = -1
4733, 37, 463eqtri 2647 . . . . 5 (-1↑5) = -1
4847oveq1i 6620 . . . 4 ((-1↑5) mod 41) = (-1 mod 41)
4917, 30, 483eqtri 2647 . . 3 ((3↑20) mod 41) = (-1 mod 41)
501oveq2i 6621 . . 3 ((3↑20) mod 𝑃) = ((3↑20) mod 41)
511oveq2i 6621 . . 3 (-1 mod 𝑃) = (-1 mod 41)
5249, 50, 513eqtr4i 2653 . 2 ((3↑20) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
534, 52eqtri 2643 1 ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  cmin 10218  -cneg 10219   / cdiv 10636  cn 10972  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  5c5 11025  0cn0 11244  cz 11329  cdc 11445  +crp 11784   mod cmo 12616  cexp 12808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809
This theorem is referenced by:  41prothprm  40861
  Copyright terms: Public domain W3C validator