MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 43prm 15753
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm 43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 11255 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 3nn 11130 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11462 . 2 43 ∈ ℕ
4 8nn0 11259 . . . 4 8 ∈ ℕ0
54, 1deccl 11456 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 11254 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 11252 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 11623 . . 3 3 < 10
9 8nn 11135 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 4lt10 11622 . . . 4 4 < 10
119, 1, 1, 10declti 11490 . . 3 4 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11476 . 2 43 < 841
13 4nn 11131 . . 3 4 ∈ ℕ
14 1lt10 11625 . . 3 1 < 10
1513, 6, 7, 14declti 11490 . 2 1 < 43
16 2cn 11035 . . . 4 2 ∈ ℂ
1716mulid2i 9987 . . 3 (1 · 2) = 2
18 df-3 11024 . . 3 3 = (2 + 1)
191, 7, 17, 18dec2dvds 15691 . 2 ¬ 2 ∥ 43
207, 1deccl 11456 . . 3 14 ∈ ℕ0
21 1nn 10975 . . 3 1 ∈ ℕ
22 0nn0 11251 . . . 4 0 ∈ ℕ0
23 eqid 2621 . . . 4 14 = 14
247dec0h 11466 . . . 4 1 = 01
25 3cn 11039 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2625mulid1i 9986 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
27 ax-1cn 9938 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2827addid2i 10168 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2926, 28oveq12i 6616 . . . . 5 ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30 3p1e4 11097 . . . . 5 (3 + 1) = 4
3129, 30eqtri 2643 . . . 4 ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32 2nn0 11253 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
33 2p1e3 11095 . . . . 5 (2 + 1) = 3
34 4cn 11042 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
35 4t3e12 11576 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
3634, 25, 35mulcomli 9991 . . . . 5 (3 · 4) = 12
377, 32, 33, 36decsuc 11479 . . . 4 ((3 · 4) + 1) = 13
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 11512 . . 3 ((3 · 14) + 1) = 43
39 1lt3 11140 . . 3 1 < 3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 15060 . 2 ¬ 3 ∥ 43
41 3lt5 11145 . . 3 3 < 5
421, 2, 41dec5dvds 15692 . 2 ¬ 5 ∥ 43
43 7nn 11134 . . 3 7 ∈ ℕ
44 6nn0 11257 . . 3 6 ∈ ℕ0
45 7t6e42 11596 . . . 4 (7 · 6) = 42
461, 32, 33, 45decsuc 11479 . . 3 ((7 · 6) + 1) = 43
47 1lt7 11158 . . 3 1 < 7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 15060 . 2 ¬ 7 ∥ 43
497, 21decnncl 11462 . . 3 11 ∈ ℕ
5021decnncl2 11469 . . 3 10 ∈ ℕ
51 eqid 2621 . . . 4 11 = 11
52 eqid 2621 . . . 4 10 = 10
5325mulid2i 9987 . . . . . 6 (1 · 3) = 3
5427addid1i 10167 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
5553, 54oveq12i 6616 . . . . 5 ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
5655, 30eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
5753oveq1i 6614 . . . . 5 ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
5825addid1i 10167 . . . . 5 (3 + 0) = 3
596dec0h 11466 . . . . 5 3 = 03
6057, 58, 593eqtri 2647 . . . 4 ((1 · 3) + 0) = 03
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 11510 . . 3 ((11 · 3) + 10) = 43
62 0lt1 10494 . . . 4 0 < 1
637, 22, 21, 62declt 11474 . . 3 10 < 11
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 15060 . 2 ¬ 11 ∥ 43
657, 2decnncl 11462 . . 3 13 ∈ ℕ
66 eqid 2621 . . . 4 13 = 13
671dec0h 11466 . . . 4 4 = 04
6853, 28oveq12i 6616 . . . . 5 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
6968, 30eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70 3t3e9 11124 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
7170oveq1i 6614 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72 9p4e13 11566 . . . . 5 (9 + 4) = 13
7371, 72eqtri 2643 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 11510 . . 3 ((13 · 3) + 4) = 43
7521, 6, 1, 10declti 11490 . . 3 4 < 13
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 15060 . 2 ¬ 13 ∥ 43
777, 43decnncl 11462 . . 3 17 ∈ ℕ
78 9nn 11136 . . 3 9 ∈ ℕ
7943nnnn0i 11244 . . . 4 7 ∈ ℕ0
8078nnnn0i 11244 . . . 4 9 ∈ ℕ0
81 eqid 2621 . . . 4 17 = 17
8280dec0h 11466 . . . 4 9 = 09
8316addid2i 10168 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
8417, 83oveq12i 6616 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85 2p2e4 11088 . . . . 5 (2 + 2) = 4
8684, 85eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87 7t2e14 11592 . . . . 5 (7 · 2) = 14
88 1p1e2 11078 . . . . 5 (1 + 1) = 2
8978nncni 10974 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
9089, 34, 72addcomli 10172 . . . . 5 (4 + 9) = 13
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 11524 . . . 4 ((7 · 2) + 9) = 23
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 11510 . . 3 ((17 · 2) + 9) = 43
93 9lt10 11617 . . . 4 9 < 10
9421, 79, 80, 93declti 11490 . . 3 9 < 17
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 15060 . 2 ¬ 17 ∥ 43
967, 78decnncl 11462 . . 3 19 ∈ ℕ
97 5nn 11132 . . 3 5 ∈ ℕ
9897nnnn0i 11244 . . . 4 5 ∈ ℕ0
99 eqid 2621 . . . 4 19 = 19
10098dec0h 11466 . . . 4 5 = 05
101 9t2e18 11607 . . . . 5 (9 · 2) = 18
102 8p5e13 11559 . . . . 5 (8 + 5) = 13
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 11524 . . . 4 ((9 · 2) + 5) = 23
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 11510 . . 3 ((19 · 2) + 5) = 43
105 5lt10 11621 . . . 4 5 < 10
10621, 80, 98, 105declti 11490 . . 3 5 < 19
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 15060 . 2 ¬ 19 ∥ 43
10832, 2decnncl 11462 . . 3 23 ∈ ℕ
109 2nn 11129 . . . 4 2 ∈ ℕ
110109decnncl2 11469 . . 3 20 ∈ ℕ
111108nncni 10974 . . . . 5 23 ∈ ℂ
112111mulid1i 9986 . . . 4 (23 · 1) = 23
113 eqid 2621 . . . 4 20 = 20
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 11514 . . 3 ((23 · 1) + 20) = 43
115 3pos 11058 . . . 4 0 < 3
11632, 22, 2, 115declt 11474 . . 3 20 < 23
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 15060 . 2 ¬ 23 ∥ 43
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 15751 1 43 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  7c7 11019  8c8 11020  9c9 11021  cdc 11437  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310
This theorem is referenced by:  bpos1  24908
  Copyright terms: Public domain W3C validator