MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 43prm 16051
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm 43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 11523 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 3nn 11398 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11730 . 2 43 ∈ ℕ
4 8nn0 11527 . . . 4 8 ∈ ℕ0
54, 1deccl 11724 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 11522 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 11520 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 11891 . . 3 3 < 10
9 8nn 11403 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 4lt10 11890 . . . 4 4 < 10
119, 1, 1, 10declti 11758 . . 3 4 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11744 . 2 43 < 841
13 4nn 11399 . . 3 4 ∈ ℕ
14 1lt10 11893 . . 3 1 < 10
1513, 6, 7, 14declti 11758 . 2 1 < 43
16 2cn 11303 . . . 4 2 ∈ ℂ
1716mulid2i 10255 . . 3 (1 · 2) = 2
18 df-3 11292 . . 3 3 = (2 + 1)
191, 7, 17, 18dec2dvds 15989 . 2 ¬ 2 ∥ 43
207, 1deccl 11724 . . 3 14 ∈ ℕ0
21 1nn 11243 . . 3 1 ∈ ℕ
22 0nn0 11519 . . . 4 0 ∈ ℕ0
23 eqid 2760 . . . 4 14 = 14
247dec0h 11734 . . . 4 1 = 01
25 3cn 11307 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2625mulid1i 10254 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
27 ax-1cn 10206 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2827addid2i 10436 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2926, 28oveq12i 6826 . . . . 5 ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30 3p1e4 11365 . . . . 5 (3 + 1) = 4
3129, 30eqtri 2782 . . . 4 ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32 2nn0 11521 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
33 2p1e3 11363 . . . . 5 (2 + 1) = 3
34 4cn 11310 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
35 4t3e12 11844 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
3634, 25, 35mulcomli 10259 . . . . 5 (3 · 4) = 12
377, 32, 33, 36decsuc 11747 . . . 4 ((3 · 4) + 1) = 13
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 11780 . . 3 ((3 · 14) + 1) = 43
39 1lt3 11408 . . 3 1 < 3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 15358 . 2 ¬ 3 ∥ 43
41 3lt5 11413 . . 3 3 < 5
421, 2, 41dec5dvds 15990 . 2 ¬ 5 ∥ 43
43 7nn 11402 . . 3 7 ∈ ℕ
44 6nn0 11525 . . 3 6 ∈ ℕ0
45 7t6e42 11864 . . . 4 (7 · 6) = 42
461, 32, 33, 45decsuc 11747 . . 3 ((7 · 6) + 1) = 43
47 1lt7 11426 . . 3 1 < 7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 15358 . 2 ¬ 7 ∥ 43
497, 21decnncl 11730 . . 3 11 ∈ ℕ
5021decnncl2 11737 . . 3 10 ∈ ℕ
51 eqid 2760 . . . 4 11 = 11
52 eqid 2760 . . . 4 10 = 10
5325mulid2i 10255 . . . . . 6 (1 · 3) = 3
5427addid1i 10435 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
5553, 54oveq12i 6826 . . . . 5 ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
5655, 30eqtri 2782 . . . 4 ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
5753oveq1i 6824 . . . . 5 ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
5825addid1i 10435 . . . . 5 (3 + 0) = 3
596dec0h 11734 . . . . 5 3 = 03
6057, 58, 593eqtri 2786 . . . 4 ((1 · 3) + 0) = 03
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 11778 . . 3 ((11 · 3) + 10) = 43
62 0lt1 10762 . . . 4 0 < 1
637, 22, 21, 62declt 11742 . . 3 10 < 11
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 15358 . 2 ¬ 11 ∥ 43
657, 2decnncl 11730 . . 3 13 ∈ ℕ
66 eqid 2760 . . . 4 13 = 13
671dec0h 11734 . . . 4 4 = 04
6853, 28oveq12i 6826 . . . . 5 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
6968, 30eqtri 2782 . . . 4 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70 3t3e9 11392 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
7170oveq1i 6824 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72 9p4e13 11834 . . . . 5 (9 + 4) = 13
7371, 72eqtri 2782 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 11778 . . 3 ((13 · 3) + 4) = 43
7521, 6, 1, 10declti 11758 . . 3 4 < 13
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 15358 . 2 ¬ 13 ∥ 43
777, 43decnncl 11730 . . 3 17 ∈ ℕ
78 9nn 11404 . . 3 9 ∈ ℕ
7943nnnn0i 11512 . . . 4 7 ∈ ℕ0
8078nnnn0i 11512 . . . 4 9 ∈ ℕ0
81 eqid 2760 . . . 4 17 = 17
8280dec0h 11734 . . . 4 9 = 09
8316addid2i 10436 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
8417, 83oveq12i 6826 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85 2p2e4 11356 . . . . 5 (2 + 2) = 4
8684, 85eqtri 2782 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87 7t2e14 11860 . . . . 5 (7 · 2) = 14
88 1p1e2 11346 . . . . 5 (1 + 1) = 2
8978nncni 11242 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
9089, 34, 72addcomli 10440 . . . . 5 (4 + 9) = 13
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 11792 . . . 4 ((7 · 2) + 9) = 23
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 11778 . . 3 ((17 · 2) + 9) = 43
93 9lt10 11885 . . . 4 9 < 10
9421, 79, 80, 93declti 11758 . . 3 9 < 17
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 15358 . 2 ¬ 17 ∥ 43
967, 78decnncl 11730 . . 3 19 ∈ ℕ
97 5nn 11400 . . 3 5 ∈ ℕ
9897nnnn0i 11512 . . . 4 5 ∈ ℕ0
99 eqid 2760 . . . 4 19 = 19
10098dec0h 11734 . . . 4 5 = 05
101 9t2e18 11875 . . . . 5 (9 · 2) = 18
102 8p5e13 11827 . . . . 5 (8 + 5) = 13
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 11792 . . . 4 ((9 · 2) + 5) = 23
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 11778 . . 3 ((19 · 2) + 5) = 43
105 5lt10 11889 . . . 4 5 < 10
10621, 80, 98, 105declti 11758 . . 3 5 < 19
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 15358 . 2 ¬ 19 ∥ 43
10832, 2decnncl 11730 . . 3 23 ∈ ℕ
109 2nn 11397 . . . 4 2 ∈ ℕ
110109decnncl2 11737 . . 3 20 ∈ ℕ
111108nncni 11242 . . . . 5 23 ∈ ℂ
112111mulid1i 10254 . . . 4 (23 · 1) = 23
113 eqid 2760 . . . 4 20 = 20
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 11782 . . 3 ((23 · 1) + 20) = 43
115 3pos 11326 . . . 4 0 < 3
11632, 22, 2, 115declt 11742 . . 3 20 < 23
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 15358 . 2 ¬ 23 ∥ 43
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 16049 1 43 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  5c5 11285  6c6 11286  7c7 11287  8c8 11288  9c9 11289  cdc 11705  cprime 15607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15203  df-prm 15608
This theorem is referenced by:  bpos1  25228
  Copyright terms: Public domain W3C validator