Theorem 43prm 16457

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11919	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 11719	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12121	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 11923	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12116	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 11918	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 11916	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12238	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 11735	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12237	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12139	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12130	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 11723	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12240	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12139	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 11715	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mulid2i 10648	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 11704	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 16401	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12116	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 11651	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 11915	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12123	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 11721	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulid1i 10647	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 10597	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addid2i 10830	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7170	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 11785	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 11917	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 11782	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 11725	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12199	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 10652	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12132	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12154	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 11813	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 11818	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 16402	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 11732	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 11921	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12214	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12132	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 11831	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12121	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12125	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mulid2i 10648	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addid1i 10829	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7170	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7168	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addid1i 10829	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12123	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2850	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12153	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11164	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12129	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12121	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12123	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7170	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 11807	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7168	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12190	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12153	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12139	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12121	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 11738	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 11908	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 11908	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12123	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addid2i 10830	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7170	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 11775	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12210	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 11765	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 11650	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 10834	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12162	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12153	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12232	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12139	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12121	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 11726	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 11908	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12123	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12223	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12184	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12162	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12153	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12236	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12139	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12121	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 11713	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12125	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 11650	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulid1i 10647	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12155	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 11745	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12129	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 16455	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  5c5 11698  6c6 11699  7c7 11700  8c8 11701  9c9 11702  ;cdc 12101  ℙcprime 16017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-prm 16018

This theorem is referenced by:  bpos1  25861