Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem11 34714
Description: Lemma for 4at 34718. Combine all three possible cases. (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 (𝑅 𝑆)) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem11
StepHypRef Expression
1 3anass 1040 . . . 4 ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
2 simpl11 1134 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 34469 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
42, 3syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simpl2l 1112 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅𝐴)
6 eqid 2620 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 4at.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7atbase 34395 . . . . . . 7 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
10 simpl2r 1113 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆𝐴)
116, 7atbase 34395 . . . . . . 7 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
13 simpl12 1135 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃𝐴)
14 simpl31 1140 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑈𝐴)
15 4at.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
166, 15, 7hlatjcl 34472 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
172, 13, 14, 16syl3anc 1324 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
18 simpl32 1141 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑉𝐴)
19 simpl33 1142 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑊𝐴)
206, 15, 7hlatjcl 34472 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) → (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
212, 18, 19, 20syl3anc 1324 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
226, 15latjcl 17032 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
234, 17, 21, 22syl3anc 1324 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
24 4at.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
256, 24, 15latjle12 17043 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
264, 9, 12, 23, 25syl13anc 1326 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
2726anbi2d 739 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) ↔ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
281, 27syl5bb 272 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
29 simpl13 1136 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄𝐴)
306, 7atbase 34395 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
3129, 30syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
326, 15, 7hlatjcl 34472 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
332, 5, 10, 32syl3anc 1324 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
346, 24, 15latjle12 17043 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑄 (𝑅 𝑆)) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
354, 31, 33, 23, 34syl13anc 1326 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑄 (𝑅 𝑆)) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
3628, 35bitrd 268 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑄 (𝑅 𝑆)) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
37 simpl1 1062 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
38 simpl2 1063 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴))
3918, 19jca 554 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑉𝐴𝑊𝐴))
40 simpr 477 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
4124, 15, 74atlem3a 34702 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊)))
4237, 38, 39, 40, 41syl31anc 1327 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊)))
43 simp1l 1083 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)))
44 simp1r 1084 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
45 simp2 1060 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊))
46 simp3 1061 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
4724, 15, 74atlem11b 34713 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
4843, 44, 45, 46, 47syl121anc 1329 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
49483exp 1262 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
5023ad2ant1 1080 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝐾 ∈ HL)
51133ad2ant1 1080 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑃𝐴)
52293ad2ant1 1080 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑄𝐴)
5353ad2ant1 1080 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑅𝐴)
54103ad2ant1 1080 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑆𝐴)
5515, 7hlatj4 34479 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑆)))
5650, 51, 52, 53, 54, 55syl122anc 1333 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑆)))
5750, 51, 533jca 1240 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴))
5852, 54jca 554 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑄𝐴𝑆𝐴))
59 simp1l3 1154 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴))
60 simp1r2 1156 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
6124, 15, 74atlem0be 34700 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → 𝑃𝑅)
6250, 51, 52, 53, 60, 61syl131anc 1337 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑃𝑅)
63 simp1r1 1155 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑃𝑄)
6424, 15, 74atlem0ae 34699 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅))
6550, 51, 52, 53, 63, 60, 64syl132anc 1342 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅))
66 simp1r3 1157 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
6715, 7hlatj32 34477 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑄))
6850, 51, 52, 53, 67syl13anc 1326 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑄))
6968breq2d 4656 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑅) 𝑄)))
7066, 69mtbid 314 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑅) 𝑄))
7162, 65, 703jca 1240 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑃𝑅 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑅) 𝑄)))
72 simp2 1060 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊))
73 simp32 1096 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
74 simp31 1095 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
75 simp33 1097 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
7624, 15, 74atlem11b 34713 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ ((𝑃𝑅 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑅) 𝑄)) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
7757, 58, 59, 71, 72, 73, 74, 75, 76syl323anc 1354 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
7856, 77eqtrd 2654 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
79783exp 1262 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
806, 7atbase 34395 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8113, 80syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
826, 15latj4rot 17083 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑆 𝑃) (𝑄 𝑅)))
834, 81, 31, 9, 12, 82syl122anc 1333 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑆 𝑃) (𝑄 𝑅)))
8415, 7hlatjcom 34473 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑃𝐴) → (𝑆 𝑃) = (𝑃 𝑆))
852, 10, 13, 84syl3anc 1324 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆 𝑃) = (𝑃 𝑆))
8685oveq1d 6650 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑆 𝑃) (𝑄 𝑅)) = ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑅)))
8783, 86eqtrd 2654 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑅)))
88873ad2ant1 1080 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑅)))
892, 13, 103jca 1240 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴))
9029, 5jca 554 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑄𝐴𝑅𝐴))
91 simpl3 1064 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴))
9289, 90, 913jca 1240 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)))
93923ad2ant1 1080 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)))
9424, 15, 74noncolr1 34560 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆𝑃 ∧ ¬ 𝑄 (𝑆 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄)))
9537, 38, 40, 94syl3anc 1324 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆𝑃 ∧ ¬ 𝑄 (𝑆 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄)))
96 necom 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑃𝑃𝑆)
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆𝑃𝑃𝑆))
9885breq2d 4656 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑄 (𝑆 𝑃) ↔ 𝑄 (𝑃 𝑆)))
9998notbid 308 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑄 (𝑆 𝑃) ↔ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑆)))
10085oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑆 𝑃) 𝑄) = ((𝑃 𝑆) 𝑄))
101100breq2d 4656 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄) ↔ 𝑅 ((𝑃 𝑆) 𝑄)))
102101notbid 308 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄) ↔ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑆) 𝑄)))
10397, 99, 1023anbi123d 1397 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑆𝑃 ∧ ¬ 𝑄 (𝑆 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄)) ↔ (𝑃𝑆 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑆) 𝑄))))
10495, 103mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝑆 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑆) 𝑄)))
1051043ad2ant1 1080 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑃𝑆 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑆) 𝑄)))
106 simp2 1060 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊))
107 simpr3 1067 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
108 simpr1 1065 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
109 simpr2 1066 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
110107, 108, 1093jca 1240 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
1111103adant2 1078 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
11224, 15, 74atlem11b 34713 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ ((𝑃𝑆 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑆) 𝑄)) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) ∧ (𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑅)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
11393, 105, 106, 111, 112syl121anc 1329 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑅)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
11488, 113eqtrd 2654 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
1151143exp 1262 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
11649, 79, 1153jaod 1390 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
11742, 116mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
11836, 117sylbird 250 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 (𝑅 𝑆)) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  lecple 15929  joincjn 16925  Latclat 17026  Atomscatm 34369  HLchlt 34456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-lat 17027  df-clat 17089  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457  df-llines 34603  df-lplanes 34604  df-lvols 34605
This theorem is referenced by:  4atlem12b  34716
  Copyright terms: Public domain W3C validator