Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem12a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem12a 33710
Description: Lemma for 4at 33713. Substitute 𝑇 for 𝑃. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem12a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem12a
StepHypRef Expression
1 simp11 1083 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1084 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝑃𝐴)
3 simp13 1085 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝑇𝐴)
4 hllat 33464 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp21 1086 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝑈𝐴)
7 simp22 1087 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝑉𝐴)
8 eqid 2609 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9 4at.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
10 4at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
118, 9, 10hlatjcl 33467 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑉𝐴) → (𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
121, 6, 7, 11syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
13 simp23 1088 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝑊𝐴)
148, 10atbase 33390 . . . . 5 (𝑊𝐴𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1513, 14syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
168, 9latjcl 16820 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
175, 12, 15, 16syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
18 simp3 1055 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊))
19 4at.l . . . 4 = (le‘𝐾)
208, 19, 9, 10hlexchb2 33485 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑇𝐴 ∧ ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝑃 (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) ↔ (𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) = (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊))))
211, 2, 3, 17, 18, 20syl131anc 1330 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝑃 (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) ↔ (𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) = (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊))))
2219, 9, 104atlem4a 33699 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑉𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) = (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊)))
231, 3, 6, 7, 13, 22syl32anc 1325 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) = (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊)))
2423breq2d 4589 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ↔ 𝑃 (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊))))
2519, 9, 104atlem4a 33699 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑉𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) = (𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)))
261, 2, 6, 7, 13, 25syl32anc 1325 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) = (𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)))
2726, 23eqeq12d 2624 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ↔ (𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) = (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊))))
2821, 24, 273bitr4d 298 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  lecple 15721  joincjn 16713  Latclat 16814  Atomscatm 33364  HLchlt 33451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16697  df-poset 16715  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-lat 16815  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452
This theorem is referenced by:  4atlem12b  33711
  Copyright terms: Public domain W3C validator