Theorem 4atlem3 36736

Description: Lemma for 4at 36753. Break inequality into 4 cases. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
4at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
4atlem3	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((¬ 𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∨ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ∨ (¬ 𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))))

Proof of Theorem 4atlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl11 1244	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl1 1187	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
3		simpl21 1247	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		simpl22 1248	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
5		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6		4at.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		4at.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		4at.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (LVols‘𝐾) = (LVols‘𝐾)
10	6, 7, 8, 9	lvoli2 36721	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (LVols‘𝐾))
11	2, 3, 4, 5, 10	syl121anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (LVols‘𝐾))
12		simpl23 1249	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑇 ∈ 𝐴)
13		simpl3l 1224	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
14		simpl3r 1225	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑉 ∈ 𝐴)
15	6, 7, 8, 9	lvolnle3at 36722	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (LVols‘𝐾)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) → ¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))
16	1, 11, 12, 13, 14, 15	syl23anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))
17	1	hllatd 36504	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
18		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19	18, 7, 8	hlatjcl 36507	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
20	2, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
21	18, 7, 8	hlatjcl 36507	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
22	1, 3, 4, 21	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
23	18, 7, 8	hlatjcl 36507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
24	1, 12, 13, 23	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
25	18, 8	atbase 36429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐴 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
26	14, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
27	18, 7	latjcl 17664	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
28	17, 24, 26, 27	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
29	18, 6, 7	latjle12 17675	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)))
30	17, 20, 22, 28, 29	syl13anc 1368	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)))
31		simpl12 1245	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
32	18, 8	atbase 36429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
34		simpl13 1246	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
35	18, 8	atbase 36429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
37	18, 6, 7	latjle12 17675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)))
38	17, 33, 36, 28, 37	syl13anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)))
39	18, 8	atbase 36429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
40	3, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
41	18, 8	atbase 36429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
42	4, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
43	18, 6, 7	latjle12 17675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)))
44	17, 40, 42, 28, 43	syl13anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)))
45	38, 44	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))))
46	18, 7	latjass 17708	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
47	17, 20, 40, 42, 46	syl13anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
48	47	breq1d 5079	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)))
49	30, 45, 48	3bitr4d 313	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)))
50	16, 49	mtbird 327	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ¬ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))))
51		ianor 978	. . 3 ⊢ (¬ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))) ↔ (¬ (𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ∨ ¬ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))))
52		ianor 978	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ↔ (¬ 𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∨ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)))
53		ianor 978	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ↔ (¬ 𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)))
54	52, 53	orbi12i 911	. . 3 ⊢ ((¬ (𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ∨ ¬ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))) ↔ ((¬ 𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∨ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ∨ (¬ 𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))))
55	51, 54	bitri 277	. 2 ⊢ (¬ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))) ↔ ((¬ 𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∨ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ∨ (¬ 𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))))
56	50, 55	sylib 220	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((¬ 𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∨ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉)) ∨ (¬ 𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ 𝑉))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486  lecple 16575  joincjn 17557  Latclat 17658  Atomscatm 36403  HLchlt 36490  LVolsclvol 36633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-lat 17659  df-clat 17721  df-oposet 36316  df-ol 36318  df-oml 36319  df-covers 36406  df-ats 36407  df-atl 36438  df-cvlat 36462  df-hlat 36491  df-llines 36638  df-lplanes 36639  df-lvols 36640

This theorem is referenced by:  4atlem3a  36737  4atlem12  36752