Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem4a 34351
Description: Lemma for 4at 34365. Frequently used associative law. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem4a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = (𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)))

Proof of Theorem 4atlem4a
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 34116 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl2 1063 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑃𝐴)
5 eqid 2626 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 4at.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 34042 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9 simpl3 1064 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑄𝐴)
105, 6atbase 34042 . . . 4 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
119, 10syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12 simprl 793 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑅𝐴)
13 simprr 795 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆𝐴)
14 4at.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
155, 14, 6hlatjcl 34119 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
161, 12, 13, 15syl3anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
175, 14latjass 17011 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = (𝑃 (𝑄 (𝑅 𝑆))))
183, 8, 11, 16, 17syl13anc 1325 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = (𝑃 (𝑄 (𝑅 𝑆))))
1914, 6hlatjass 34122 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 (𝑅 𝑆)))
201, 9, 12, 13, 19syl13anc 1325 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 (𝑅 𝑆)))
2120oveq2d 6621 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) = (𝑃 (𝑄 (𝑅 𝑆))))
2218, 21eqtr4d 2663 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = (𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  lecple 15864  joincjn 16860  Latclat 16961  Atomscatm 34016  HLchlt 34103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-preset 16844  df-poset 16862  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-lat 16962  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104
This theorem is referenced by:  4atlem12a  34362
  Copyright terms: Public domain W3C validator