Theorem 4bc2eq6 12933

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11221	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 11244	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 11242	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1231	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 10958	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 10937	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 10944	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 11045	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 10011	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 469	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 12161	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 703	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 12909	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 11157	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 12882	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 10928	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6091	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 6538	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2641	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 10945	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 10938	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 10991	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 10221	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6091	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 12883	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2631	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 6539	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 11024	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2631	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 6539	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 12887	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 10877	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 10964	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 10621	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 12884	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2631	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2631	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2631	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   class class class wbr 4577  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   ≤ cle 9931   − cmin 10117   / cdiv 10533  ℕcn 10867  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  6c6 10921  ℕ₀cn0 11139  ℤcz 11210  ...cfz 12152  !cfa 12877  Ccbc 12906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-seq 12619  df-fac 12878  df-bc 12907

This theorem is referenced by:  bpoly4  14575  ex-bc  26467