MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4bc2eq6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4bc2eq6 13156
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6 (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 11426 . . . . 5 0 ∈ ℤ
2 4z 11449 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2z 11447 . . . . 5 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1259 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 0le2 11149 . . . . 5 0 ≤ 2
6 2re 11128 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 4re 11135 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8 2lt4 11236 . . . . . 6 2 < 4
96, 7, 8ltleii 10198 . . . . 5 2 ≤ 4
105, 9pm3.2i 470 . . . 4 (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11 elfz4 12373 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
124, 10, 11mp2an 708 . . 3 2 ∈ (0...4)
13 bcval2 13132 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
1412, 13ax-mp 5 . 2 (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15 3nn0 11348 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
16 facp1 13105 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18 df-4 11119 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
1918fveq2i 6232 . . . . 5 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
2018oveq2i 6701 . . . . 5 ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
2117, 19, 203eqtr4i 2683 . . . 4 (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22 4cn 11136 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
23 2cn 11129 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
24 2p2e4 11182 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
2522, 23, 23, 24subaddrii 10408 . . . . . . . 8 (4 − 2) = 2
2625fveq2i 6232 . . . . . . 7 (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27 fac2 13106 . . . . . . 7 (!‘2) = 2
2826, 27eqtri 2673 . . . . . 6 (!‘(4 − 2)) = 2
2928, 27oveq12i 6702 . . . . 5 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30 2t2e4 11215 . . . . 5 (2 · 2) = 4
3129, 30eqtri 2673 . . . 4 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
3221, 31oveq12i 6702 . . 3 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33 faccl 13110 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (!‘3) ∈ ℕ
3534nncni 11068 . . . . 5 (!‘3) ∈ ℂ
36 4ne0 11155 . . . . 5 4 ≠ 0
3735, 22, 36divcan4i 10810 . . . 4 (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38 fac3 13107 . . . 4 (!‘3) = 6
3937, 38eqtri 2673 . . 3 (((!‘3) · 4) / 4) = 6
4032, 39eqtri 2673 . 2 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
4114, 40eqtri 2673 1 (4C2) = 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  6c6 11112  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  !cfa 13100  Ccbc 13129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-fac 13101  df-bc 13130
This theorem is referenced by:  bpoly4  14834  ex-bc  27439
  Copyright terms: Public domain W3C validator