MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4bc2eq6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4bc2eq6 12933
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6 (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 11221 . . . . 5 0 ∈ ℤ
2 4z 11244 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2z 11242 . . . . 5 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1231 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 0le2 10958 . . . . 5 0 ≤ 2
6 2re 10937 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 4re 10944 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8 2lt4 11045 . . . . . 6 2 < 4
96, 7, 8ltleii 10011 . . . . 5 2 ≤ 4
105, 9pm3.2i 469 . . . 4 (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11 elfz4 12161 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
124, 10, 11mp2an 703 . . 3 2 ∈ (0...4)
13 bcval2 12909 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
1412, 13ax-mp 5 . 2 (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15 3nn0 11157 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
16 facp1 12882 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18 df-4 10928 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
1918fveq2i 6091 . . . . 5 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
2018oveq2i 6538 . . . . 5 ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
2117, 19, 203eqtr4i 2641 . . . 4 (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22 4cn 10945 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
23 2cn 10938 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
24 2p2e4 10991 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
2522, 23, 23, 24subaddrii 10221 . . . . . . . 8 (4 − 2) = 2
2625fveq2i 6091 . . . . . . 7 (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27 fac2 12883 . . . . . . 7 (!‘2) = 2
2826, 27eqtri 2631 . . . . . 6 (!‘(4 − 2)) = 2
2928, 27oveq12i 6539 . . . . 5 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30 2t2e4 11024 . . . . 5 (2 · 2) = 4
3129, 30eqtri 2631 . . . 4 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
3221, 31oveq12i 6539 . . 3 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33 faccl 12887 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (!‘3) ∈ ℕ
3534nncni 10877 . . . . 5 (!‘3) ∈ ℂ
36 4ne0 10964 . . . . 5 4 ≠ 0
3735, 22, 36divcan4i 10621 . . . 4 (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38 fac3 12884 . . . 4 (!‘3) = 6
3937, 38eqtri 2631 . . 3 (((!‘3) · 4) / 4) = 6
4032, 39eqtri 2631 . 2 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
4114, 40eqtri 2631 1 (4C2) = 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  6c6 10921  0cn0 11139  cz 11210  ...cfz 12152  !cfa 12877  Ccbc 12906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-seq 12619  df-fac 12878  df-bc 12907
This theorem is referenced by:  bpoly4  14575  ex-bc  26467
  Copyright terms: Public domain W3C validator