Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4ipval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4ipval2 27870
 Description: Four times the inner product value ipval3 27871, useful for simplifying certain proofs. (Contributed by NM, 10-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipfval.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
dipfval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
dipfval.6 𝑁 = (normCV𝑈)
dipfval.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
4ipval2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))))

Proof of Theorem 4ipval2
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 dipfval.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 dipfval.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 dipfval.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
5 dipfval.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 27869 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))
76oveq2d 6827 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 · (𝐴𝑃𝐵)) = (4 · (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4)))
8 simp1 1131 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
91, 2nvgcl 27782 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
101, 4nvcl 27823 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺𝐵)) ∈ ℝ)
118, 9, 10syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺𝐵)) ∈ ℝ)
1211recnd 10258 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺𝐵)) ∈ ℂ)
1312sqcld 13198 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) ∈ ℂ)
14 neg1cn 11314 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
151, 3nvscl 27788 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
1614, 15mp3an2 1559 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
17163adant2 1126 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
181, 2nvgcl 27782 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
1917, 18syld3an3 1516 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
201, 4nvcl 27823 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
218, 19, 20syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
2221recnd 10258 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ ℂ)
2322sqcld 13198 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
2413, 23subcld 10582 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
25 ax-icn 10185 . . . . 5 i ∈ ℂ
261, 3nvscl 27788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
2725, 26mp3an2 1559 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
28273adant2 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
291, 2nvgcl 27782 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
3028, 29syld3an3 1516 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
311, 4nvcl 27823 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
328, 30, 31syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
3332recnd 10258 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℂ)
3433sqcld 13198 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
35 negicn 10472 . . . . . . . . . . . 12 -i ∈ ℂ
361, 3nvscl 27788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (-i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
3735, 36mp3an2 1559 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
38373adant2 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
391, 2nvgcl 27782 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-i𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
4038, 39syld3an3 1516 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
411, 4nvcl 27823 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
428, 40, 41syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
4342recnd 10258 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵))) ∈ ℂ)
4443sqcld 13198 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
4534, 44subcld 10582 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
46 mulcl 10210 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
4725, 45, 46sylancr 698 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
4824, 47addcld 10249 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ)
49 4cn 11288 . . . 4 4 ∈ ℂ
50 4ne0 11307 . . . 4 4 ≠ 0
51 divcan2 10883 . . . 4 ((((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (4 · (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))))
5249, 50, 51mp3an23 1563 . . 3 (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ → (4 · (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))))
5348, 52syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 · (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))))
547, 53eqtrd 2792 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1630   ∈ wcel 2137   ≠ wne 2930  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  ℂcc 10124  ℝcr 10125  0cc0 10126  1c1 10127  ici 10128   + caddc 10129   · cmul 10131   − cmin 10456  -cneg 10457   / cdiv 10874  2c2 11260  4c4 11262  ↑cexp 13052  NrmCVeccnv 27746   +𝑣 cpv 27747  BaseSetcba 27748   ·𝑠OLD cns 27749  normCVcnmcv 27752  ·𝑖OLDcdip 27862 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-oi 8578  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-rp 12024  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-sum 14614  df-grpo 27654  df-ablo 27706  df-vc 27721  df-nv 27754  df-va 27757  df-ba 27758  df-sm 27759  df-0v 27760  df-nmcv 27762  df-dip 27863 This theorem is referenced by:  ip1ilem  27988  ipasslem10  28001
 Copyright terms: Public domain W3C validator