MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4pos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4pos 10960
Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
4pos 0 < 4

Proof of Theorem 4pos
StepHypRef Expression
1 3re 10938 . . 3 3 ∈ ℝ
2 1re 9892 . . 3 1 ∈ ℝ
3 3pos 10958 . . 3 0 < 3
4 0lt1 10396 . . 3 0 < 1
51, 2, 3, 4addgt0ii 10416 . 2 0 < (3 + 1)
6 df-4 10925 . 2 4 = (3 + 1)
75, 6breqtrri 4601 1 0 < 4
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 4574  (class class class)co 6524  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   < clt 9927  3c3 10915  4c4 10916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925
This theorem is referenced by:  4ne0  10961  5pos  10962  div4p1lem1div2  11131  fldiv4p1lem1div2  12450  iexpcyc  12783  discr  12815  faclbnd2  12892  sqrt2gt1lt2  13806  flodddiv4  14918  pcoass  22560  csbren  22904  minveclem2  22919  dveflem  23460  sincos4thpi  23983  log2cnv  24385  chtublem  24650  bposlem6  24728  gausslemma2dlem0d  24798  2sqlem11  24868  chebbnd1lem3  24874  chebbnd1  24875  pntibndlem1  24992  pntlemb  25000  pntlemg  25001  pntlemr  25005  pntlemf  25008  usgraex0elv  25687  4cycl4v4e  25957  4cycl4dv  25958  minvecolem2  26918  minvecolem3  26919  normlem6  27159  sqsscirc1  29085  limclner  38519  stoweid  38757  stirlinglem10  38777  stirlinglem12  38779  bgoldbtbndlem3  40025  upgr4cycl4dv4e  41351
  Copyright terms: Public domain W3C validator