Theorem 4pos 11738

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 11711	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 10635	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 11736	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 11156	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 11176	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 11696	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 5086	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669  3c3 11687  4c4 11688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696

This theorem is referenced by:  4ne0  11739  5pos  11740  div4p1lem1div2  11886  fldiv4p1lem1div2  13199  iexpcyc  13563  discr  13595  faclbnd2  13645  sqrt2gt1lt2  14628  flodddiv4  15758  pcoass  23622  csbren  23996  minveclem2  24023  dveflem  24570  sincos4thpi  25093  log2cnv  25516  chtublem  25781  bposlem6  25859  gausslemma2dlem0d  25929  2sqlem11  25999  chebbnd1lem3  26041  chebbnd1  26042  pntibndlem1  26159  pntlemb  26167  pntlemg  26168  pntlemr  26172  pntlemf  26175  usgrexmplef  27035  upgr4cycl4dv4e  27958  minvecolem2  28646  minvecolem3  28647  normlem6  28886  sqsscirc1  31146  hgt750lem  31917  limclner  41924  stoweid  42341  stirlinglem10  42361  stirlinglem12  42363  bgoldbtbndlem3  43965  itsclc0yqsollem2  44743  itscnhlinecirc02plem1  44762