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Theorem 4rexfrabdioph 36176
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, four variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4 𝐽 = (𝐾 + 1)
Assertion
Ref Expression
4rexfrabdioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑢 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝐽   𝑡,𝐾,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝐿,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝑀,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem 4rexfrabdioph
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sbcrex 36162 . . . . . . . 8 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑)
2 2sbcrex 36162 . . . . . . . . 9 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
32rexbii 3022 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
41, 3bitri 262 . . . . . . 7 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
54sbcbii 3457 . . . . . 6 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
6 sbc2rex 36165 . . . . . 6 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
75, 6bitri 262 . . . . 5 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
87a1i 11 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐿)) → ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑))
98rabbiia 3160 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑}
10 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7 𝐿 = (𝑀 + 1)
11 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑁 + 1)
12 nn0p1nn 11179 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1311, 12syl5eqel 2691 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ)
1413peano2nnd 10884 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
1510, 14syl5eqel 2691 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ)
1615nnnn0d 11198 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)
1716adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
18 sbcrot3 36169 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑)
19 sbcrot3 36169 . . . . . . . . . . . . 13 ([(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2019sbcbii 3457 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
21 sbcrot3 36169 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2220, 21bitri 262 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2322sbcbii 3457 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2418, 23bitr3i 264 . . . . . . . . 9 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
2524sbcbii 3457 . . . . . . . 8 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
26 reseq1 5298 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)))
2726sbccomieg 36171 . . . . . . . . 9 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
28 fzssp1 12210 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (1...(𝑁 + 1))
2911oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
3028, 29sseqtr4i 3600 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀)
31 fzssp1 12210 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) ⊆ (1...(𝑀 + 1))
3210oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝐿) = (1...(𝑀 + 1))
3331, 32sseqtr4i 3600 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) ⊆ (1...𝐿)
3430, 33sstri 3576 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ (1...𝐿)
35 resabs1 5334 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ⊆ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)))
36 dfsbcq 3403 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
3734, 35, 36mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
38 fveq1 6087 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀))
3938sbccomieg 36171 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
40 elfz1end 12197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4113, 40sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (1...𝑀))
4233, 41sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (1...𝐿))
43 fvres 6102 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡𝑀))
44 dfsbcq 3403 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
46 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡 ∈ V
4746resex 5350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V
48 fveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎𝐿) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿))
4948sbcco3g 3950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5047, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑)
51 elfz1end 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿))
5215, 51sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (1...𝐿))
53 fvres 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡𝐿))
54 dfsbcq 3403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡𝐿) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5552, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5650, 55syl5bb 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5756sbcbidv 3456 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5845, 57bitrd 266 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
5939, 58syl5bb 270 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6059sbcbidv 3456 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6137, 60syl5bb 270 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6227, 61syl5bb 270 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6325, 62syl5bb 270 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑))
6463rabbidv 3163 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑})
6564eleq1d 2671 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ({𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)))
6665biimpar 500 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽))
67 rexfrabdioph.3 . . . . 5 𝐾 = (𝐿 + 1)
68 rexfrabdioph.4 . . . . 5 𝐽 = (𝐾 + 1)
6967, 682rexfrabdioph 36174 . . . 4 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
7017, 66, 69syl2anc 690 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
719, 70syl5eqel 2691 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿))
7211, 102rexfrabdioph 36174 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑎𝐿) / 𝑤]𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿)) → {𝑢 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
7371, 72syldan 485 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐽)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐽)) → {𝑢 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  {crab 2899  Vcvv 3172  [wsbc 3401  wss 3539  cres 5030  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  1c1 9793   + caddc 9795  cn 10867  0cn0 11139  ...cfz 12152  Diophcdioph 36132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-hash 12935  df-mzpcl 36100  df-mzp 36101  df-dioph 36133
This theorem is referenced by:  6rexfrabdioph  36177
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