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Theorem 4sqlem10 15570
Description: Lemma for 4sq 15587. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem10.5 ((𝜑𝜓) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐵↑2)) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem10 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
54nnred 10980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ)
65rehalfcld 11224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
76recnd 10013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
87negnegd 10328 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → --(𝑀 / 2) = (𝑀 / 2))
9 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
101, 3, 94sqlem5 15565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
1110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
1211simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℤ)
1312zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℝ)
141, 3, 94sqlem6 15566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1615simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝐵 < (𝑀 / 2))
1713, 16ltned 10118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ≠ (𝑀 / 2))
1817neneqd 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝐵 = (𝑀 / 2))
19 2cnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → 2 ∈ ℂ)
2019sqvald 12942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → (2↑2) = (2 · 2))
2120oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
224nncnd 10981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℂ)
23 2ne0 11058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → 2 ≠ 0)
2522, 19, 24sqdivd 12958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
2622sqcld 12943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
2726, 19, 19, 24, 24divdiv1d 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
2821, 25, 273eqtr4d 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
2926halfcld 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
3029halfcld 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
3112zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℂ)
3231sqcld 12943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
33 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐵↑2)) = 0)
3430, 32, 33subeq0d 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐵↑2))
3528, 34eqtr2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2))
36 sqeqor 12915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2) ↔ (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2))))
3731, 7, 36syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → ((𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2) ↔ (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2))))
3835, 37mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2)))
3938ord 392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (¬ 𝐵 = (𝑀 / 2) → 𝐵 = -(𝑀 / 2)))
4018, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝐵 = -(𝑀 / 2))
4140, 12eqeltrrd 2705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → -(𝑀 / 2) ∈ ℤ)
4241znegcld 11428 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → --(𝑀 / 2) ∈ ℤ)
438, 42eqeltrrd 2705 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
442, 43zaddcld 11430 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
4544zred 11426 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
464nnrpd 11814 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ+)
4745, 46modcld 12611 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
4847recnd 10013 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
49 0cnd 9978 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℂ)
50 df-neg 10214 . . . . . . 7 -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
5140, 9, 503eqtr3g 2683 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (0 − (𝑀 / 2)))
5248, 49, 7, 51subcan2d 10379 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0)
53 dvdsval3 14906 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0))
544, 44, 53syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0))
5552, 54mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)))
564nnzd 11425 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
57 dvdssq 15199 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2)))
5856, 44, 57syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2)))
5955, 58mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2))
6022sqvald 12942 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
614nnne0d 11010 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ≠ 0)
62 dvdsmulcr 14930 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2))))
6356, 44, 56, 61, 62syl112anc 1327 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2))))
6455, 63mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))
6560, 64eqbrtrd 4640 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))
66 zsqcl 12871 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
6756, 66syl 17 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
68 zsqcl 12871 . . . . 5 ((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ)
6944, 68syl 17 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ)
7044, 56zmulcld 11432 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ∈ ℤ)
71 dvds2sub 14935 . . . 4 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))))
7267, 69, 70, 71syl3anc 1323 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))))
7359, 65, 72mp2and 714 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
7444zcnd 11427 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
7574sqvald 12942 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))))
7675oveq1d 6620 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
7774, 74, 22subdid 10431 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
78222halvesd 11223 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
7978oveq2d 6621 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀))
802zcnd 11427 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
8180, 7, 7pnpcan2d 10375 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))) = (𝐴 − (𝑀 / 2)))
8279, 81eqtr3d 2662 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀) = (𝐴 − (𝑀 / 2)))
8382oveq2d 6621 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
84 subsq 12909 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
8580, 7, 84syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
8628oveq2d 6621 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8783, 85, 863eqtr2d 2666 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8876, 77, 873eqtr2d 2666 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8973, 88breqtrd 4644 1 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  -cneg 10212   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015  cz 11322   mod cmo 12605  cexp 12797  cdvds 14902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-gcd 15136
This theorem is referenced by:  4sqlem16  15583
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