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Theorem 4sqlem10 15698
Description: Lemma for 4sq 15715. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem10.5 ((𝜑𝜓) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐵↑2)) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem10 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
54nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ)
65rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
76recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
87negnegd 10421 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → --(𝑀 / 2) = (𝑀 / 2))
9 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
101, 3, 94sqlem5 15693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
1211simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℤ)
1312zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℝ)
141, 3, 94sqlem6 15694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1615simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝐵 < (𝑀 / 2))
1713, 16ltned 10211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ≠ (𝑀 / 2))
1817neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝐵 = (𝑀 / 2))
19 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → 2 ∈ ℂ)
2019sqvald 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → (2↑2) = (2 · 2))
2120oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
224nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℂ)
23 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → 2 ≠ 0)
2522, 19, 24sqdivd 13061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
2622sqcld 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
2726, 19, 19, 24, 24divdiv1d 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
2821, 25, 273eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
2926halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
3029halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
3112zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℂ)
3231sqcld 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
33 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐵↑2)) = 0)
3430, 32, 33subeq0d 10438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐵↑2))
3528, 34eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2))
36 sqeqor 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2) ↔ (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2))))
3731, 7, 36syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → ((𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2) ↔ (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2))))
3835, 37mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2)))
3938ord 391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (¬ 𝐵 = (𝑀 / 2) → 𝐵 = -(𝑀 / 2)))
4018, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝐵 = -(𝑀 / 2))
4140, 12eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → -(𝑀 / 2) ∈ ℤ)
4241znegcld 11522 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → --(𝑀 / 2) ∈ ℤ)
438, 42eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
442, 43zaddcld 11524 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
4544zred 11520 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
464nnrpd 11908 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ+)
4745, 46modcld 12714 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
4847recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
49 0cnd 10071 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℂ)
50 df-neg 10307 . . . . . . 7 -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
5140, 9, 503eqtr3g 2708 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (0 − (𝑀 / 2)))
5248, 49, 7, 51subcan2d 10472 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0)
53 dvdsval3 15031 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0))
544, 44, 53syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0))
5552, 54mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)))
564nnzd 11519 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
57 dvdssq 15327 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2)))
5856, 44, 57syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2)))
5955, 58mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2))
6022sqvald 13045 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
614nnne0d 11103 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ≠ 0)
62 dvdsmulcr 15058 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2))))
6356, 44, 56, 61, 62syl112anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2))))
6455, 63mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))
6560, 64eqbrtrd 4707 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))
66 zsqcl 12974 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
6756, 66syl 17 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
68 zsqcl 12974 . . . . 5 ((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ)
6944, 68syl 17 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ)
7044, 56zmulcld 11526 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ∈ ℤ)
71 dvds2sub 15063 . . . 4 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))))
7267, 69, 70, 71syl3anc 1366 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))))
7359, 65, 72mp2and 715 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
7444zcnd 11521 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
7574sqvald 13045 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))))
7675oveq1d 6705 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
7774, 74, 22subdid 10524 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
78222halvesd 11316 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
7978oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀))
802zcnd 11521 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
8180, 7, 7pnpcan2d 10468 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))) = (𝐴 − (𝑀 / 2)))
8279, 81eqtr3d 2687 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀) = (𝐴 − (𝑀 / 2)))
8382oveq2d 6706 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
84 subsq 13012 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
8580, 7, 84syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
8628oveq2d 6706 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8783, 85, 863eqtr2d 2691 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8876, 77, 873eqtr2d 2691 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8973, 88breqtrd 4711 1 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  cz 11415   mod cmo 12708  cexp 12900  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264
This theorem is referenced by:  4sqlem16  15711
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