Theorem 4sqlem5 15570

Description: Lemma for 4sq 15592. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem5	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem 4sqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 11427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		4sqlem5.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4	1	zred 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnred 10979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
8	4, 7	readdcld 10013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
9	5	nnrpd 11814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
10	8, 9	modcld 12614	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
12	7	recnd 10012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
13	11, 12	subcld 10336	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
14	3, 13	syl5eqel 2702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
15	2, 14	nncand 10341	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
16	2, 14	subcld 10336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	6	recnd 10012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
18	5	nnne0d 11009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
19	16, 17, 18	divcan1d 10746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵))
20	3	oveq2i 6615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
21	2, 11, 12	subsub3d 10366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
22	20, 21	syl5eq 2667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
23	22	oveq1d 6619	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀))
24		moddifz 12622	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
25	8, 9, 24	syl2anc 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
26	23, 25	eqeltrd 2698	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
27	5	nnzd 11425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
28	26, 27	zmulcld 11432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℤ)
29	19, 28	eqeltrrd 2699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
30	1, 29	zsubcld 11431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℤ)
31	15, 30	eqeltrrd 2699	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
32	31, 26	jca 554	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879   + caddc 9883   · cmul 9885   − cmin 10210   / cdiv 10628  ℕcn 10964  2c2 11014  ℤcz 11321  ℝ⁺crp 11776   mod cmo 12608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609

This theorem is referenced by:  4sqlem7  15572  4sqlem8  15573  4sqlem9  15574  4sqlem10  15575  4sqlem14  15586  4sqlem15  15587  4sqlem16  15588  4sqlem17  15589  2sqlem8a  25050  2sqlem8  25051