MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem5 15868
Description: Lemma for 4sq 15890. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem 4sqlem5
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 11695 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 4sqlem5.4 . . . . 5 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41zred 11694 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
65nnred 11247 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
76rehalfcld 11491 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
84, 7readdcld 10281 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
95nnrpd 12083 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
108, 9modcld 12888 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
1110recnd 10280 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
127recnd 10280 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
1311, 12subcld 10604 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
143, 13syl5eqel 2843 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
152, 14nncand 10609 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)
162, 14subcld 10604 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
176recnd 10280 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
185nnne0d 11277 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ≠ 0)
1916, 17, 18divcan1d 11014 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / 𝑀) · 𝑀) = (𝐴𝐵))
203oveq2i 6825 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) = (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
212, 11, 12subsub3d 10634 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
2220, 21syl5eq 2806 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
2322oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀))
24 moddifz 12896 . . . . . . . 8 (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
258, 9, 24syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
2623, 25eqeltrd 2839 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
275nnzd 11693 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2826, 27zmulcld 11700 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℤ)
2919, 28eqeltrrd 2840 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
301, 29zsubcld 11699 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) ∈ ℤ)
3115, 30eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3231, 26jca 555 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147   + caddc 10151   · cmul 10153  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  2c2 11282  cz 11589  +crp 12045   mod cmo 12882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fl 12807  df-mod 12883
This theorem is referenced by:  4sqlem7  15870  4sqlem8  15871  4sqlem9  15872  4sqlem10  15873  4sqlem14  15884  4sqlem15  15885  4sqlem16  15886  4sqlem17  15887  2sqlem8a  25370  2sqlem8  25371
  Copyright terms: Public domain W3C validator