MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem6 15571
Description: Lemma for 4sq 15592. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem6 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem6
StepHypRef Expression
1 0red 9985 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2 4sqlem5.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
32zred 11426 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 4sqlem5.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54nnred 10979 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
65rehalfcld 11223 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
73, 6readdcld 10013 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
84nnrpd 11814 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
97, 8modcld 12614 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
10 modge0 12618 . . . . 5 (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
117, 8, 10syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
121, 9, 6, 11lesub1dd 10587 . . 3 (𝜑 → (0 − (𝑀 / 2)) ≤ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
13 df-neg 10213 . . 3 -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
14 4sqlem5.4 . . 3 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
1512, 13, 143brtr4g 4647 . 2 (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
16 modlt 12619 . . . . . 6 (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
177, 8, 16syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
184nncnd 10980 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
19182halvesd 11222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
2017, 19breqtrrd 4641 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)))
219, 6, 6ltsubaddd 10567 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))))
2220, 21mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2))
2314, 22syl5eqbr 4648 . 2 (𝜑𝐵 < (𝑀 / 2))
2415, 23jca 554 1 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  +crp 11776   mod cmo 12608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609
This theorem is referenced by:  4sqlem7  15572  4sqlem10  15575
  Copyright terms: Public domain W3C validator