Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem7 15567
 Description: Lemma for 4sq 15587. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem7 (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

Proof of Theorem 4sqlem7
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 4sqlem5.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 4sqlem5.4 . . . . . . 7 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41, 2, 34sqlem5 15565 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
54simpld 475 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
65zred 11426 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
72nnrpd 11814 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
87rphalfcld 11828 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ+)
98rpred 11816 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
101, 2, 34sqlem6 15566 . . . . 5 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1110simprd 479 . . . 4 (𝜑𝐵 < (𝑀 / 2))
126, 9, 11ltled 10130 . . 3 (𝜑𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
1310simpld 475 . . . 4 (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
149, 6, 13lenegcon1d 10554 . . 3 (𝜑 → -𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
158rpge0d 11820 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 / 2))
16 lenegsq 13989 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 / 2)) → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
176, 9, 15, 16syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
1812, 14, 17mpbi2and 955 . 2 (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2))
19 2cnd 11038 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2019sqvald 12942 . . . 4 (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
2120oveq2d 6621 . . 3 (𝜑 → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
222nncnd 10981 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
23 2ne0 11058 . . . . 5 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2522, 19, 24sqdivd 12958 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
2622sqcld 12943 . . . 4 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
2726, 19, 19, 24, 24divdiv1d 10777 . . 3 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
2821, 25, 273eqtr4d 2670 . 2 (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
2918, 28breqtrd 4644 1 (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  ℝcr 9880  0cc0 9881   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019   ≤ cle 10020   − cmin 10211  -cneg 10212   / cdiv 10629  ℕcn 10965  2c2 11015  ℤcz 11322   mod cmo 12605  ↑cexp 12797 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905 This theorem is referenced by:  4sqlem15  15582  4sqlem16  15583  2sqlem8  25046
 Copyright terms: Public domain W3C validator