MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem8 15573
Description: Lemma for 4sq 15592. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem8 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Proof of Theorem 4sqlem8
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 4sqlem5.3 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 4sqlem5.4 . . . . 5 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41, 2, 34sqlem5 15570 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
54simprd 479 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
62nnzd 11425 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
72nnne0d 11009 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
84simpld 475 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
91, 8zsubcld 11431 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
10 dvdsval2 14910 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
116, 7, 9, 10syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
125, 11mpbird 247 . 2 (𝜑𝑀 ∥ (𝐴𝐵))
131, 8zaddcld 11430 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
14 dvdsmul2 14928 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
1513, 9, 14syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
161zcnd 11427 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
178zcnd 11427 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
18 subsq 12912 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
1916, 17, 18syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
2015, 19breqtrrd 4641 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
21 zsqcl 12874 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
221, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
23 zsqcl 12874 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
248, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
2522, 24zsubcld 11431 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
26 dvdstr 14942 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))) → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))))
276, 9, 25, 26syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → ((𝑀 ∥ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))) → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))))
2812, 20, 27mp2and 714 1 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  cz 11321   mod cmo 12608  cexp 12800  cdvds 14907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-dvds 14908
This theorem is referenced by:  4sqlem14  15586  2sqlem8  25051
  Copyright terms: Public domain W3C validator