MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4t3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4t3lem 11459
Description: Lemma for 4t3e12 11460 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
4t3lem.1 𝐴 ∈ ℕ0
4t3lem.2 𝐵 ∈ ℕ0
4t3lem.3 𝐶 = (𝐵 + 1)
4t3lem.4 (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
4t3lem.5 (𝐷 + 𝐴) = 𝐸
Assertion
Ref Expression
4t3lem (𝐴 · 𝐶) = 𝐸

Proof of Theorem 4t3lem
StepHypRef Expression
1 4t3lem.3 . . 3 𝐶 = (𝐵 + 1)
21oveq2i 6534 . 2 (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 + 1))
3 4t3lem.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
43nn0cni 11147 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
5 4t3lem.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
65nn0cni 11147 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
7 ax-1cn 9846 . . . . 5 1 ∈ ℂ
84, 6, 7adddii 9902 . . . 4 (𝐴 · (𝐵 + 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1))
9 4t3lem.4 . . . . 5 (𝐴 · 𝐵) = 𝐷
104mulid1i 9894 . . . . 5 (𝐴 · 1) = 𝐴
119, 10oveq12i 6535 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 1)) = (𝐷 + 𝐴)
128, 11eqtri 2627 . . 3 (𝐴 · (𝐵 + 1)) = (𝐷 + 𝐴)
13 4t3lem.5 . . 3 (𝐷 + 𝐴) = 𝐸
1412, 13eqtri 2627 . 2 (𝐴 · (𝐵 + 1)) = 𝐸
152, 14eqtri 2627 1 (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1975  (class class class)co 6523  1c1 9789   + caddc 9791   · cmul 9793  0cn0 11135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-nn 10864  df-n0 11136
This theorem is referenced by:  4t3e12  11460  4t4e16  11461  5t2e10  11462  5t3e15  11463  5t3e15OLD  11464  5t4e20  11465  5t4e20OLD  11466  5t5e25  11467  5t5e25OLD  11468  6t3e18  11470  6t4e24  11471  6t5e30  11472  6t5e30OLD  11473  6t6e36  11474  6t6e36OLD  11475  7t3e21  11477  7t4e28  11478  7t5e35  11479  7t6e42  11480  7t7e49  11481  8t3e24  11483  8t4e32  11484  8t5e40  11485  8t5e40OLD  11486  8t6e48  11487  8t6e48OLD  11488  8t7e56  11489  8t8e64  11490  9t3e27  11492  9t4e36  11493  9t5e45  11494  9t6e54  11495  9t7e63  11496  9t8e72  11497  9t9e81  11498
  Copyright terms: Public domain W3C validator