HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem3 28355
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem3.1 𝐴S
5oalem3.2 𝐵S
5oalem3.3 𝐶S
5oalem3.4 𝐷S
5oalem3.5 𝐹S
5oalem3.6 𝐺S
Assertion
Ref Expression
5oalem3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))

Proof of Theorem 5oalem3
StepHypRef Expression
1 anandir 871 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ↔ (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))))
2 5oalem3.1 . . . . . . 7 𝐴S
3 5oalem3.2 . . . . . . 7 𝐵S
4 5oalem3.5 . . . . . . 7 𝐹S
5 5oalem3.6 . . . . . . 7 𝐺S
62, 3, 4, 55oalem2 28354 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)) → (𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)))
7 5oalem3.3 . . . . . . 7 𝐶S
8 5oalem3.4 . . . . . . 7 𝐷S
97, 8, 4, 55oalem2 28354 . . . . . 6 ((((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔)) → (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)))
106, 9anim12i 589 . . . . 5 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)) ∧ (((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → ((𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
1110an4s 868 . . . 4 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → ((𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
121, 11sylanb 489 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → ((𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
132, 4shscli 28016 . . . . 5 (𝐴 + 𝐹) ∈ S
143, 5shscli 28016 . . . . 5 (𝐵 + 𝐺) ∈ S
1513, 14shincli 28061 . . . 4 ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∈ S
167, 4shscli 28016 . . . . 5 (𝐶 + 𝐹) ∈ S
178, 5shscli 28016 . . . . 5 (𝐷 + 𝐺) ∈ S
1816, 17shincli 28061 . . . 4 ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∈ S
1915, 18shsvsi 28066 . . 3 (((𝑥 𝑓) ∈ ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
2012, 19syl 17 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
212sheli 27911 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
2221adantr 481 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
237sheli 27911 . . . . . . 7 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝑧 ∈ ℋ)
2522, 24anim12i 589 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
264sheli 27911 . . . . . 6 (𝑓𝐹𝑓 ∈ ℋ)
2726adantr 481 . . . . 5 ((𝑓𝐹𝑔𝐺) → 𝑓 ∈ ℋ)
28 hvsubsub4 27757 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
2928anandirs 873 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
30 hvsubid 27723 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ℋ → (𝑓 𝑓) = 0)
3130oveq2d 6621 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − 0))
32 hvsubcl 27714 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑧) ∈ ℋ)
33 hvsub0 27773 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
3531, 34sylan9eqr 2682 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3629, 35eqtrd 2660 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3725, 27, 36syl2an 494 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3837eleq1d 2688 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) → (((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))) ↔ (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)))))
3938adantr 481 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))) ↔ (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)))))
4020, 39mpbid 222 1 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑓 + 𝑔))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) + ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cin 3559  (class class class)co 6605  chil 27616   + cva 27617  0c0v 27621   cmv 27622   S csh 27625   + cph 27628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-hilex 27696  ax-hfvadd 27697  ax-hvcom 27698  ax-hvass 27699  ax-hv0cl 27700  ax-hvaddid 27701  ax-hfvmul 27702  ax-hvmulid 27703  ax-hvmulass 27704  ax-hvdistr1 27705  ax-hvdistr2 27706  ax-hvmul0 27707
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-ltxr 10024  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-grpo 27187  df-ablo 27239  df-hvsub 27668  df-hlim 27669  df-sh 27904  df-ch 27918  df-shs 28007
This theorem is referenced by:  5oalem4  28356
  Copyright terms: Public domain W3C validator