HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem5 28384
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1 𝐴S
5oalem5.2 𝐵S
5oalem5.3 𝐶S
5oalem5.4 𝐷S
5oalem5.5 𝐹S
5oalem5.6 𝐺S
5oalem5.7 𝑅S
5oalem5.8 𝑆S
Assertion
Ref Expression
5oalem5 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))

Proof of Theorem 5oalem5
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) → (𝑣𝑅𝑢𝑆))
21anim2i 592 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)))
3 simpl 473 . . 3 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)))
4 5oalem5.1 . . . 4 𝐴S
5 5oalem5.2 . . . 4 𝐵S
6 5oalem5.3 . . . 4 𝐶S
7 5oalem5.4 . . . 4 𝐷S
8 5oalem5.7 . . . 4 𝑅S
9 5oalem5.8 . . . 4 𝑆S
104, 5, 6, 7, 8, 95oalem4 28383 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))))
112, 3, 10syl2an 494 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))))
124sheli 27938 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
146sheli 27938 . . . . . . . 8 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝑧 ∈ ℋ)
1613, 15anim12i 589 . . . . . 6 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
17 5oalem5.5 . . . . . . . 8 𝐹S
1817sheli 27938 . . . . . . 7 (𝑓𝐹𝑓 ∈ ℋ)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝑓𝐹𝑔𝐺) → 𝑓 ∈ ℋ)
20 hvsubsub4 27784 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
2120anandirs 873 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
22 hvsubid 27750 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ℋ → (𝑓 𝑓) = 0)
2322oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − 0))
24 hvsubcl 27741 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑧) ∈ ℋ)
25 hvsub0 27800 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
2723, 26sylan9eqr 2677 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
2821, 27eqtrd 2655 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
2916, 19, 28syl2an 494 . . . . 5 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3029adantrr 752 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3130adantr 481 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
32 simpl 473 . . . . . . . 8 (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) → (𝑓𝐹𝑔𝐺))
3332anim2i 592 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)))
34 anandir 871 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ↔ (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))))
3533, 34sylib 208 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))))
36 simprr 795 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (𝑣𝑅𝑢𝑆))
3735, 36jca 554 . . . . 5 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)))
38 simpl 473 . . . . . . 7 (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢))
3938anim1i 591 . . . . . 6 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))
40 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢))
4140anim1i 591 . . . . . 6 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))
4239, 41jca 554 . . . . 5 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))))
43 anandir 871 . . . . . 6 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ↔ ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ (((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))))
44 5oalem5.6 . . . . . . . . 9 𝐺S
454, 5, 17, 44, 8, 95oalem4 28383 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))
466, 7, 17, 44, 8, 95oalem4 28383 . . . . . . . 8 (((((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))
4745, 46anim12i 589 . . . . . . 7 ((((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) ∧ ((((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
4847an4s 868 . . . . . 6 ((((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ (((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
4943, 48sylanb 489 . . . . 5 ((((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
5037, 42, 49syl2an 494 . . . 4 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
514, 17shscli 28043 . . . . . . 7 (𝐴 + 𝐹) ∈ S
525, 44shscli 28043 . . . . . . 7 (𝐵 + 𝐺) ∈ S
5351, 52shincli 28088 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∈ S
544, 8shscli 28043 . . . . . . . 8 (𝐴 + 𝑅) ∈ S
555, 9shscli 28043 . . . . . . . 8 (𝐵 + 𝑆) ∈ S
5654, 55shincli 28088 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) ∈ S
5717, 8shscli 28043 . . . . . . . 8 (𝐹 + 𝑅) ∈ S
5844, 9shscli 28043 . . . . . . . 8 (𝐺 + 𝑆) ∈ S
5957, 58shincli 28088 . . . . . . 7 ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)) ∈ S
6056, 59shscli 28043 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))) ∈ S
6153, 60shincli 28088 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∈ S
626, 17shscli 28043 . . . . . . 7 (𝐶 + 𝐹) ∈ S
637, 44shscli 28043 . . . . . . 7 (𝐷 + 𝐺) ∈ S
6462, 63shincli 28088 . . . . . 6 ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∈ S
656, 8shscli 28043 . . . . . . . 8 (𝐶 + 𝑅) ∈ S
667, 9shscli 28043 . . . . . . . 8 (𝐷 + 𝑆) ∈ S
6765, 66shincli 28088 . . . . . . 7 ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) ∈ S
6867, 59shscli 28043 . . . . . 6 (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))) ∈ S
6964, 68shincli 28088 . . . . 5 (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∈ S
7061, 69shsvsi 28093 . . . 4 (((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
7150, 70syl 17 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
7231, 71eqeltrrd 2699 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
7311, 72elind 3781 1 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3558  (class class class)co 6610  chil 27643   + cva 27644  0c0v 27648   cmv 27649   S csh 27652   + cph 27655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-hilex 27723  ax-hfvadd 27724  ax-hvcom 27725  ax-hvass 27726  ax-hv0cl 27727  ax-hvaddid 27728  ax-hfvmul 27729  ax-hvmulid 27730  ax-hvmulass 27731  ax-hvdistr1 27732  ax-hvdistr2 27733  ax-hvmul0 27734
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-ltxr 10030  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-grpo 27214  df-ablo 27266  df-hvsub 27695  df-hlim 27696  df-sh 27931  df-ch 27945  df-shs 28034
This theorem is referenced by:  5oalem6  28385
  Copyright terms: Public domain W3C validator