HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem7 28368
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 4-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1 𝐴S
5oalem5.2 𝐵S
5oalem5.3 𝐶S
5oalem5.4 𝐷S
5oalem5.5 𝐹S
5oalem5.6 𝐺S
5oalem5.7 𝑅S
5oalem5.8 𝑆S
Assertion
Ref Expression
5oalem7 (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ⊆ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))))

Proof of Theorem 5oalem7
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ee4anv 2183 . . . 4 (∃𝑥𝑦𝑓𝑔(∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
2 exrot4 2043 . . . . . 6 (∃𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ∃𝑓𝑔𝑧𝑤𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
3 ee4anv 2183 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑤𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ (∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
432exbii 1772 . . . . . 6 (∃𝑓𝑔𝑧𝑤𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ∃𝑓𝑔(∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
52, 4bitri 264 . . . . 5 (∃𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ∃𝑓𝑔(∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
652exbii 1772 . . . 4 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ∃𝑥𝑦𝑓𝑔(∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
7 elin 3774 . . . . 5 ( ∈ (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ↔ ( ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∧ ∈ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))))
8 5oalem5.1 . . . . . . . . . 10 𝐴S
9 5oalem5.2 . . . . . . . . . 10 𝐵S
108, 9shseli 28024 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 = (𝑥 + 𝑦))
11 r2ex 3054 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)))
1210, 11bitri 264 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)))
13 5oalem5.3 . . . . . . . . . 10 𝐶S
14 5oalem5.4 . . . . . . . . . 10 𝐷S
1513, 14shseli 28024 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝐶 + 𝐷) ↔ ∃𝑧𝐶𝑤𝐷 = (𝑧 + 𝑤))
16 r2ex 3054 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝐶𝑤𝐷 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤)))
1715, 16bitri 264 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐶 + 𝐷) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤)))
1812, 17anbi12i 732 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∈ (𝐶 + 𝐷)) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))))
19 elin 3774 . . . . . . 7 ( ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ↔ ( ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∈ (𝐶 + 𝐷)))
20 ee4anv 2183 . . . . . . 7 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))))
2118, 19, 203bitr4ri 293 . . . . . 6 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ↔ ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)))
22 5oalem5.5 . . . . . . . . . 10 𝐹S
23 5oalem5.6 . . . . . . . . . 10 𝐺S
2422, 23shseli 28024 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝐹 + 𝐺) ↔ ∃𝑓𝐹𝑔𝐺 = (𝑓 + 𝑔))
25 r2ex 3054 . . . . . . . . 9 (∃𝑓𝐹𝑔𝐺 = (𝑓 + 𝑔) ↔ ∃𝑓𝑔((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)))
2624, 25bitri 264 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐹 + 𝐺) ↔ ∃𝑓𝑔((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)))
27 5oalem5.7 . . . . . . . . . 10 𝑅S
28 5oalem5.8 . . . . . . . . . 10 𝑆S
2927, 28shseli 28024 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝑅 + 𝑆) ↔ ∃𝑣𝑅𝑢𝑆 = (𝑣 + 𝑢))
30 r2ex 3054 . . . . . . . . 9 (∃𝑣𝑅𝑢𝑆 = (𝑣 + 𝑢) ↔ ∃𝑣𝑢((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))
3129, 30bitri 264 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝑅 + 𝑆) ↔ ∃𝑣𝑢((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))
3226, 31anbi12i 732 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐹 + 𝐺) ∧ ∈ (𝑅 + 𝑆)) ↔ (∃𝑓𝑔((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ∃𝑣𝑢((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢))))
33 elin 3774 . . . . . . 7 ( ∈ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆)) ↔ ( ∈ (𝐹 + 𝐺) ∧ ∈ (𝑅 + 𝑆)))
34 ee4anv 2183 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢))) ↔ (∃𝑓𝑔((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ∃𝑣𝑢((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢))))
3532, 33, 343bitr4ri 293 . . . . . 6 (∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢))) ↔ ∈ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆)))
3621, 35anbi12i 732 . . . . 5 ((∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ( ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∧ ∈ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))))
377, 36bitr4i 267 . . . 4 ( ∈ (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ↔ (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
381, 6, 373bitr4ri 293 . . 3 ( ∈ (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
398, 9, 13, 14, 22, 23, 27, 285oalem6 28367 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4039exlimivv 1857 . . . . . 6 (∃𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4140exlimivv 1857 . . . . 5 (∃𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4241exlimivv 1857 . . . 4 (∃𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4342exlimivv 1857 . . 3 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4438, 43sylbi 207 . 2 ( ∈ (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4544ssriv 3587 1 (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ⊆ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wrex 2908  cin 3554  wss 3555  (class class class)co 6604   + cva 27626   S csh 27634   + cph 27637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-hilex 27705  ax-hfvadd 27706  ax-hvcom 27707  ax-hvass 27708  ax-hv0cl 27709  ax-hvaddid 27710  ax-hfvmul 27711  ax-hvmulid 27712  ax-hvmulass 27713  ax-hvdistr1 27714  ax-hvdistr2 27715  ax-hvmul0 27716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-grpo 27196  df-ablo 27248  df-hvsub 27677  df-hlim 27678  df-sh 27913  df-ch 27927  df-shs 28016
This theorem is referenced by:  5oai  28369
  Copyright terms: Public domain W3C validator