Theorem 5prm 16444

Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
5prm	⊢ 5 ∈ ℙ

Proof of Theorem 5prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 11726	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		1lt5 11820	. 2 ⊢ 1 < 5
3		2nn 11713	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		2nn0 11917	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn 11651	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2t2e4 11804	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
7	6	oveq1i 7168	. . . 4 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8		df-5 11706	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
9	7, 8	eqtr4i 2849	. . 3 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
10		1lt2 11811	. . 3 ⊢ 1 < 2
11	3, 4, 5, 9, 10	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 5
12		3nn 11719	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		1nn0 11916	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		3t1e3 11805	. . . . 5 ⊢ (3 · 1) = 3
15	14	oveq1i 7168	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
16		3p2e5 11791	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
17	15, 16	eqtri 2846	. . 3 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
18		2lt3 11812	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	12, 13, 3, 17, 18	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
20		5nn0 11920	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21		5lt10 12236	. . 3 ⊢ 5 < ;10
22	3, 20, 20, 21	declti 12139	. 2 ⊢ 5 < ;25
23	1, 2, 11, 19, 22	prmlem1 16443	1 ⊢ 5 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  5c5 11698  ℙcprime 16017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-prm 16018

This theorem is referenced by:  prmo5  16464  4001prm  16480  lt6abl  19017  bpos1  25861  fmtno1prm  43728  fmtnofac1  43739  8gbe  43945  11gbo  43947  nnsum3primesle9  43966