Theorem 6gbe 43943

Description: 6 is an even Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6gbe	⊢ 6 ∈ GoldbachEven

Proof of Theorem 6gbe

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6even 43883	. 2 ⊢ 6 ∈ Even
2		3prm 16040	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℙ
3		3odd 43880	. . . 4 ⊢ 3 ∈ Odd
4		gbpart6 43938	. . . 4 ⊢ 6 = (3 + 3)
5	3, 3, 4	3pm3.2i 1335	. . 3 ⊢ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))
6		eleq1 2902	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
7		biidd 264	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 𝑞 ∈ Odd ))
8		oveq1 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
9	8	eqeq2d 2834	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 3 → (6 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 6 = (3 + 𝑞)))
10	6, 7, 9	3anbi123d 1432	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 𝑞))))
11		biidd 264	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
12		eleq1 2902	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
13		oveq2 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 3 → (3 + 𝑞) = (3 + 3))
14	13	eqeq2d 2834	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 3 → (6 = (3 + 𝑞) ↔ 6 = (3 + 3)))
15	11, 12, 14	3anbi123d 1432	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 3 → ((3 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 𝑞)) ↔ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))))
16	10, 15	rspc2ev 3637	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ (3 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 6 = (3 + 3))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞)))
17	2, 2, 5, 16	mp3an 1457	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞))
18		isgbe 43923	. 2 ⊢ (6 ∈ GoldbachEven ↔ (6 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 6 = (𝑝 + 𝑞))))
19	1, 17, 18	mpbir2an 709	1 ⊢ 6 ∈ GoldbachEven

Syntax hints:   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141  (class class class)co 7158   + caddc 10542  3c3 11696  6c6 11699  ℙcprime 16017   Even ceven 43796   Odd codd 43797   GoldbachEven cgbe 43917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-prm 16018  df-even 43798  df-odd 43799  df-gbe 43920

This theorem is referenced by:  nnsum3primesle9  43966