Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6gcd4e2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 6gcd4e2 15190
 Description: The greatest common divisor of six and four is two. To calculate this gcd, a simple form of Euclid's algorithm is used: (6 gcd 4) = ((4 + 2) gcd 4) = (2 gcd 4) and (2 gcd 4) = (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 2) = 2. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6gcd4e2 (6 gcd 4) = 2

Proof of Theorem 6gcd4e2
StepHypRef Expression
1 6nn 11141 . . . 4 6 ∈ ℕ
21nnzi 11353 . . 3 6 ∈ ℤ
3 4z 11363 . . 3 4 ∈ ℤ
4 gcdcom 15170 . . 3 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) = (4 gcd 6))
52, 3, 4mp2an 707 . 2 (6 gcd 4) = (4 gcd 6)
6 4cn 11050 . . . 4 4 ∈ ℂ
7 2cn 11043 . . . 4 2 ∈ ℂ
8 4p2e6 11114 . . . 4 (4 + 2) = 6
96, 7, 8addcomli 10180 . . 3 (2 + 4) = 6
109oveq2i 6621 . 2 (4 gcd (2 + 4)) = (4 gcd 6)
11 2z 11361 . . . . 5 2 ∈ ℤ
12 gcdadd 15182 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2)))
1311, 11, 12mp2an 707 . . . 4 (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2))
14 2p2e4 11096 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
1514oveq2i 6621 . . . . 5 (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 4)
16 gcdcom 15170 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (2 gcd 4) = (4 gcd 2))
1711, 3, 16mp2an 707 . . . . 5 (2 gcd 4) = (4 gcd 2)
1815, 17eqtri 2643 . . . 4 (2 gcd (2 + 2)) = (4 gcd 2)
1913, 18eqtri 2643 . . 3 (2 gcd 2) = (4 gcd 2)
20 gcdid 15183 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → (2 gcd 2) = (abs‘2))
2111, 20ax-mp 5 . . . 4 (2 gcd 2) = (abs‘2)
22 2re 11042 . . . . 5 2 ∈ ℝ
23 0le2 11063 . . . . 5 0 ≤ 2
24 absid 13978 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
2522, 23, 24mp2an 707 . . . 4 (abs‘2) = 2
2621, 25eqtri 2643 . . 3 (2 gcd 2) = 2
27 gcdadd 15182 . . . 4 ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4)))
283, 11, 27mp2an 707 . . 3 (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4))
2919, 26, 283eqtr3ri 2652 . 2 (4 gcd (2 + 4)) = 2
305, 10, 293eqtr2i 2649 1 (6 gcd 4) = 2
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4618  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℝcr 9887  0cc0 9888   + caddc 9891   ≤ cle 10027  2c2 11022  4c4 11024  6c6 11026  ℤcz 11329  abscabs 13916   gcd cgcd 15151 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-gcd 15152 This theorem is referenced by:  6lcm4e12  15264
 Copyright terms: Public domain W3C validator