Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6lcm4e12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 6lcm4e12 15253
 Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6lcm4e12 (6 lcm 4) = 12

Proof of Theorem 6lcm4e12
StepHypRef Expression
1 6cn 11046 . . . 4 6 ∈ ℂ
2 4cn 11042 . . . 4 4 ∈ ℂ
31, 2mulcli 9989 . . 3 (6 · 4) ∈ ℂ
4 6nn0 11257 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
54nn0zi 11346 . . . . 5 6 ∈ ℤ
6 4z 11355 . . . . 5 4 ∈ ℤ
75, 6pm3.2i 471 . . . 4 (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
8 lcmcl 15238 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
98nn0cnd 11297 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
107, 9ax-mp 5 . . 3 (6 lcm 4) ∈ ℂ
11 gcdcl 15152 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11297 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
137, 12ax-mp 5 . . . 4 (6 gcd 4) ∈ ℂ
14 4ne0 11061 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
1514neii 2792 . . . . . . . 8 ¬ 4 = 0
1615intnan 959 . . . . . . 7 ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
177, 16pm3.2i 471 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0))
18 gcdn0cl 15148 . . . . . 6 (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 (6 gcd 4) ∈ ℕ
2019nnne0i 10999 . . . 4 (6 gcd 4) ≠ 0
2113, 20pm3.2i 471 . . 3 ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)
22 6nn 11133 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
23 4nn 11131 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
2422, 23pm3.2i 471 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
25 lcmgcdnn 15248 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
2624, 25mp1i 13 . . . . . 6 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
2726eqcomd 2627 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
28 divmul3 10634 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
2927, 28mpbird 247 . . . 4 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
3029eqcomd 2627 . . 3 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) ≠ 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
313, 10, 21, 30mp3an 1421 . 2 (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
32 6gcd4e2 15179 . . 3 (6 gcd 4) = 2
3332oveq2i 6615 . 2 ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
34 2cn 11035 . . . 4 2 ∈ ℂ
35 2ne0 11057 . . . 4 2 ≠ 0
361, 2, 34, 35divassi 10725 . . 3 ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
37 4d2e2 11128 . . . 4 (4 / 2) = 2
3837oveq2i 6615 . . 3 (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
39 6t2e12 11585 . . 3 (6 · 2) = 12
4036, 38, 393eqtri 2647 . 2 ((6 · 4) / 2) = 12
4131, 33, 403eqtri 2647 1 (6 lcm 4) = 12
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885   / cdiv 10628  ℕcn 10964  2c2 11014  4c4 11016  6c6 11018  ℤcz 11321  ;cdc 11437   gcd cgcd 15140   lcm clcm 15225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-lcm 15227 This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  15284
 Copyright terms: Public domain W3C validator