Theorem 83prm 16458

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	⊢ ;83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 11923	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
2		3nn 11719	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12121	. 2 ⊢ ;83 ∈ ℕ
4		4nn0 11919	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	1, 4	deccl 12116	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 11918	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 11916	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12238	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 11735	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		8lt10 12233	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	9, 4, 1, 10	declti 12139	. . 3 ⊢ 8 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12130	. 2 ⊢ ;83 < ;;841
13		1lt10 12240	. . 3 ⊢ 1 < ;10
14	9, 6, 7, 13	declti 12139	. 2 ⊢ 1 < ;83
15		2cn 11715	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16	15	mulid2i 10648	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
17		df-3 11704	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 16401	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;83
19		2nn0 11917	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		7nn0 11922	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
21	19, 20	deccl 12116	. . 3 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
22		2nn 11713	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		0nn0 11915	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;27 = ;27
25	19	dec0h 12123	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
26		3t2e6 11806	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
27	15	addid2i 10830	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
28	26, 27	oveq12i 7170	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29		6p2e8 11799	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
30	28, 29	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
31	20	nn0cni 11912	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
32		3cn 11721	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		7t3e21 12211	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
34	31, 32, 33	mulcomli 10652	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
35		1p2e3 11783	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 12161	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 12154	. . 3 ⊢ ((3 · ;27) + 2) = ;83
38		2lt3 11812	. . 3 ⊢ 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;83
40		3lt5 11818	. . 3 ⊢ 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 16402	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;83
42		7nn 11732	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
43	7, 7	deccl 12116	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
44		6nn 11729	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
45	44	nnnn0i 11908	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
46		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
47	45	dec0h 12123	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
48	31	mulid1i 10647	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		ax-1cn 10597	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50	49	addid2i 10830	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	48, 50	oveq12i 7170	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52		7p1e8 11789	. . . . 5 ⊢ (7 + 1) = 8
53	51, 52	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
54	48	oveq1i 7168	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55		7p6e13 12179	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
56	54, 55	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + 6) = ;13
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 12154	. . 3 ⊢ ((7 · ;11) + 6) = ;83
58		6lt7 11826	. . 3 ⊢ 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;83
60		1nn 11651	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
61	7, 60	decnncl 12121	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
62	61	nncni 11650	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℂ
63	62, 31	mulcomi 10651	. . . . 5 ⊢ (;11 · 7) = (7 · ;11)
64	63	oveq1i 7168	. . . 4 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ((7 · ;11) + 6)
65	64, 57	eqtri 2846	. . 3 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ;83
66		6lt10 12235	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
67	60, 7, 45, 66	declti 12139	. . 3 ⊢ 6 < ;11
68	61, 20, 44, 65, 67	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;83
69	7, 2	decnncl 12121	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
70		5nn 11726	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
71	70	nnnn0i 11908	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
72		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
73	71	dec0h 12123	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
74		6cn 11731	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
75	74	mulid2i 10648	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
76	75, 27	oveq12i 7170	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
77	76, 29	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78		6t3e18 12206	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
79	74, 32, 78	mulcomli 10652	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
80		1p1e2 11765	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
81		8p5e13 12184	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
82	7, 1, 71, 79, 80, 6, 81	decaddci 12162	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 5) = ;23
83	7, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82	decmac 12153	. . 3 ⊢ ((;13 · 6) + 5) = ;83
84		5lt10 12236	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
85	60, 6, 71, 84	declti 12139	. . 3 ⊢ 5 < ;13
86	69, 45, 70, 83, 85	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;83
87	7, 42	decnncl 12121	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
88	7, 70	decnncl 12121	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ
89		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
90		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;15 = ;15
91	4	nn0cni 11912	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	mulid2i 10648	. . . . . 6 ⊢ (1 · 4) = 4
93		3p1e4 11785	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
94	32, 49, 93	addcomli 10834	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
95	92, 94	oveq12i 7170	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96		4p4e8 11795	. . . . 5 ⊢ (4 + 4) = 8
97	95, 96	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98		7t4e28 12212	. . . . 5 ⊢ (7 · 4) = ;28
99		2p1e3 11782	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
100	19, 1, 71, 98, 99, 6, 81	decaddci 12162	. . . 4 ⊢ ((7 · 4) + 5) = ;33
101	7, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100	decmac 12153	. . 3 ⊢ ((;17 · 4) + ;15) = ;83
102		5lt7 11827	. . . 4 ⊢ 5 < 7
103	7, 71, 42, 102	declt 12129	. . 3 ⊢ ;15 < ;17
104	87, 4, 88, 101, 103	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;83
105		9nn 11738	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
106	7, 105	decnncl 12121	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
107		9nn0 11924	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
108		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
109	20	dec0h 12123	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
110	91	addid2i 10830	. . . . . 6 ⊢ (0 + 4) = 4
111	92, 110	oveq12i 7170	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112	111, 96	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113		9t4e36 12225	. . . . 5 ⊢ (9 · 4) = ;36
114	31, 74, 55	addcomli 10834	. . . . 5 ⊢ (6 + 7) = ;13
115	6, 45, 20, 113, 93, 6, 114	decaddci 12162	. . . 4 ⊢ ((9 · 4) + 7) = ;43
116	7, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115	decmac 12153	. . 3 ⊢ ((;19 · 4) + 7) = ;83
117		7lt10 12234	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
118	60, 107, 20, 117	declti 12139	. . 3 ⊢ 7 < ;19
119	106, 4, 42, 116, 118	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;83
120	19, 2	decnncl 12121	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
121		4nn 11723	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
122	7, 121	decnncl 12121	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
123		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
124		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
125	32, 15, 26	mulcomli 10652	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
126	125, 80	oveq12i 7170	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127	126, 29	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128		3t3e9 11807	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
129	128	oveq1i 7168	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130		9p4e13 12190	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
131	129, 130	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
132	19, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131	decmac 12153	. . 3 ⊢ ((;23 · 3) + ;14) = ;83
133		4lt10 12237	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
134		1lt2 11811	. . . 4 ⊢ 1 < 2
135	7, 19, 4, 6, 133, 134	decltc 12130	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
136	120, 6, 122, 132, 135	ndvdsi 15765	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;83
137	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136	prmlem2 16455	1 ⊢ ;83 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  5c5 11698  6c6 11699  7c7 11700  8c8 11701  9c9 11702  ;cdc 12101  ℙcprime 16017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-prm 16018

This theorem is referenced by:  bpos1  25861