Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 83prm 15754
 Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm 83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 11259 . . 3 8 ∈ ℕ0
2 3nn 11130 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11462 . 2 83 ∈ ℕ
4 4nn0 11255 . . . 4 4 ∈ ℕ0
51, 4deccl 11456 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 11254 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 11252 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 11623 . . 3 3 < 10
9 8nn 11135 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 8lt10 11618 . . . 4 8 < 10
119, 4, 1, 10declti 11490 . . 3 8 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11476 . 2 83 < 841
13 1lt10 11625 . . 3 1 < 10
149, 6, 7, 13declti 11490 . 2 1 < 83
15 2cn 11035 . . . 4 2 ∈ ℂ
1615mulid2i 9987 . . 3 (1 · 2) = 2
17 df-3 11024 . . 3 3 = (2 + 1)
181, 7, 16, 17dec2dvds 15691 . 2 ¬ 2 ∥ 83
19 2nn0 11253 . . . 4 2 ∈ ℕ0
20 7nn0 11258 . . . 4 7 ∈ ℕ0
2119, 20deccl 11456 . . 3 27 ∈ ℕ0
22 2nn 11129 . . 3 2 ∈ ℕ
23 0nn0 11251 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2621 . . . 4 27 = 27
2519dec0h 11466 . . . 4 2 = 02
26 3t2e6 11123 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
2715addid2i 10168 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
2826, 27oveq12i 6616 . . . . 5 ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29 6p2e8 11113 . . . . 5 (6 + 2) = 8
3028, 29eqtri 2643 . . . 4 ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
3120nn0cni 11248 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
32 3cn 11039 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
33 7t3e21 11593 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
3431, 32, 33mulcomli 9991 . . . . 5 (3 · 7) = 21
35 1p2e3 11096 . . . . 5 (1 + 2) = 3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 11523 . . . 4 ((3 · 7) + 2) = 23
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 11512 . . 3 ((3 · 27) + 2) = 83
38 2lt3 11139 . . 3 2 < 3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 15060 . 2 ¬ 3 ∥ 83
40 3lt5 11145 . . 3 3 < 5
411, 2, 40dec5dvds 15692 . 2 ¬ 5 ∥ 83
42 7nn 11134 . . 3 7 ∈ ℕ
437, 7deccl 11456 . . 3 11 ∈ ℕ0
44 6nn 11133 . . 3 6 ∈ ℕ
4544nnnn0i 11244 . . . 4 6 ∈ ℕ0
46 eqid 2621 . . . 4 11 = 11
4745dec0h 11466 . . . 4 6 = 06
4831mulid1i 9986 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 ax-1cn 9938 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5049addid2i 10168 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5148, 50oveq12i 6616 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52 7p1e8 11101 . . . . 5 (7 + 1) = 8
5351, 52eqtri 2643 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
5448oveq1i 6614 . . . . 5 ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55 7p6e13 11552 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5654, 55eqtri 2643 . . . 4 ((7 · 1) + 6) = 13
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 11512 . . 3 ((7 · 11) + 6) = 83
58 6lt7 11153 . . 3 6 < 7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 15060 . 2 ¬ 7 ∥ 83
60 1nn 10975 . . . 4 1 ∈ ℕ
617, 60decnncl 11462 . . 3 11 ∈ ℕ
6261nncni 10974 . . . . . 6 11 ∈ ℂ
6362, 31mulcomi 9990 . . . . 5 (11 · 7) = (7 · 11)
6463oveq1i 6614 . . . 4 ((11 · 7) + 6) = ((7 · 11) + 6)
6564, 57eqtri 2643 . . 3 ((11 · 7) + 6) = 83
66 6lt10 11620 . . . 4 6 < 10
6760, 7, 45, 66declti 11490 . . 3 6 < 11
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 15060 . 2 ¬ 11 ∥ 83
697, 2decnncl 11462 . . 3 13 ∈ ℕ
70 5nn 11132 . . 3 5 ∈ ℕ
7170nnnn0i 11244 . . . 4 5 ∈ ℕ0
72 eqid 2621 . . . 4 13 = 13
7371dec0h 11466 . . . 4 5 = 05
74 6cn 11046 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7574mulid2i 9987 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
7675, 27oveq12i 6616 . . . . 5 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
7776, 29eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78 6t3e18 11586 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
7974, 32, 78mulcomli 9991 . . . . 5 (3 · 6) = 18
80 1p1e2 11078 . . . . 5 (1 + 1) = 2
81 8p5e13 11559 . . . . 5 (8 + 5) = 13
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 11524 . . . 4 ((3 · 6) + 5) = 23
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 11510 . . 3 ((13 · 6) + 5) = 83
84 5lt10 11621 . . . 4 5 < 10
8560, 6, 71, 84declti 11490 . . 3 5 < 13
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 15060 . 2 ¬ 13 ∥ 83
877, 42decnncl 11462 . . 3 17 ∈ ℕ
887, 70decnncl 11462 . . 3 15 ∈ ℕ
89 eqid 2621 . . . 4 17 = 17
90 eqid 2621 . . . 4 15 = 15
914nn0cni 11248 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
9291mulid2i 9987 . . . . . 6 (1 · 4) = 4
93 3p1e4 11097 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
9432, 49, 93addcomli 10172 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
9592, 94oveq12i 6616 . . . . 5 ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96 4p4e8 11108 . . . . 5 (4 + 4) = 8
9795, 96eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98 7t4e28 11594 . . . . 5 (7 · 4) = 28
99 2p1e3 11095 . . . . 5 (2 + 1) = 3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 11524 . . . 4 ((7 · 4) + 5) = 33
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 11510 . . 3 ((17 · 4) + 15) = 83
102 5lt7 11154 . . . 4 5 < 7
1037, 71, 42, 102declt 11474 . . 3 15 < 17
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 15060 . 2 ¬ 17 ∥ 83
105 9nn 11136 . . . 4 9 ∈ ℕ
1067, 105decnncl 11462 . . 3 19 ∈ ℕ
107 9nn0 11260 . . . 4 9 ∈ ℕ0
108 eqid 2621 . . . 4 19 = 19
10920dec0h 11466 . . . 4 7 = 07
11091addid2i 10168 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
11192, 110oveq12i 6616 . . . . 5 ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112111, 96eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113 9t4e36 11609 . . . . 5 (9 · 4) = 36
11431, 74, 55addcomli 10172 . . . . 5 (6 + 7) = 13
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 11524 . . . 4 ((9 · 4) + 7) = 43
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 11510 . . 3 ((19 · 4) + 7) = 83
117 7lt10 11619 . . . 4 7 < 10
11860, 107, 20, 117declti 11490 . . 3 7 < 19
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 15060 . 2 ¬ 19 ∥ 83
12019, 2decnncl 11462 . . 3 23 ∈ ℕ
121 4nn 11131 . . . 4 4 ∈ ℕ
1227, 121decnncl 11462 . . 3 14 ∈ ℕ
123 eqid 2621 . . . 4 23 = 23
124 eqid 2621 . . . 4 14 = 14
12532, 15, 26mulcomli 9991 . . . . . 6 (2 · 3) = 6
126125, 80oveq12i 6616 . . . . 5 ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127126, 29eqtri 2643 . . . 4 ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128 3t3e9 11124 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
129128oveq1i 6614 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130 9p4e13 11566 . . . . 5 (9 + 4) = 13
131129, 130eqtri 2643 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 11510 . . 3 ((23 · 3) + 14) = 83
133 4lt10 11622 . . . 4 4 < 10
134 1lt2 11138 . . . 4 1 < 2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 11476 . . 3 14 < 23
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 15060 . 2 ¬ 23 ∥ 83
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 15751 1 83 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 1987  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  7c7 11019  8c8 11020  9c9 11021  ;cdc 11437  ℙcprime 15309 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310 This theorem is referenced by:  bpos1  24908
 Copyright terms: Public domain W3C validator