Theorem 9nn 11738

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 11710	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 11735	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 11652	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2911	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  1c1 10540   + caddc 10542  ℕcn 11640  8c8 11701  9c9 11702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-1cn 10597

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710

This theorem is referenced by:  9nn0  11924  9p1e10  12103  10nn  12117  3dvdsdec  15683  19prm  16453  prmlem2  16455  37prm  16456  43prm  16457  83prm  16458  139prm  16459  163prm  16460  317prm  16461  631prm  16462  1259lem1  16466  1259lem2  16467  1259lem3  16468  1259lem4  16469  1259lem5  16470  2503lem3  16474  tsetndx  16661  tsetid  16662  topgrpstr  16663  resstset  16667  otpsstr  16670  odrngstr  16681  imasvalstr  16727  ipostr  17765  oppgtset  18482  mgptset  19249  sratset  19958  psrvalstr  20145  cnfldstr  20549  eltpsg  21553  indistpsALT  21623  2logb9irr  25375  sqrt2cxp2logb9e3  25379  mcubic  25427  log2cnv  25524  log2tlbnd  25525  log2ublem2  25527  log2ub  25529  bposlem7  25868  ex-cnv  28218  ex-dm  28220  ex-gcd  28238  ex-lcm  28239  ex-prmo  28240  hgt750lem2  31925  rmydioph  39618  deccarry  43518  257prm  43730  fmtno4nprmfac193  43743  139prmALT  43766  127prm  43770  8exp8mod9  43908  9fppr8  43909  nfermltl8rev  43914  wtgoldbnnsum4prm  43974  bgoldbnnsum3prm  43976  bgoldbtbndlem1  43977  tgblthelfgott  43987