MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  9t11e99 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 9t11e99 11859
Description: 9 times 11 equals 99. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
9t11e99 (9 · 11) = 99

Proof of Theorem 9t11e99
StepHypRef Expression
1 9cn 11296 . . . 4 9 ∈ ℂ
2 10nn0 11704 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
32nn0cni 11492 . . . . 5 10 ∈ ℂ
4 ax-1cn 10182 . . . . 5 1 ∈ ℂ
53, 4mulcli 10233 . . . 4 (10 · 1) ∈ ℂ
61, 5, 4adddii 10238 . . 3 (9 · ((10 · 1) + 1)) = ((9 · (10 · 1)) + (9 · 1))
73mulid1i 10230 . . . . . 6 (10 · 1) = 10
87oveq2i 6820 . . . . 5 (9 · (10 · 1)) = (9 · 10)
91, 3mulcomi 10234 . . . . 5 (9 · 10) = (10 · 9)
108, 9eqtri 2778 . . . 4 (9 · (10 · 1)) = (10 · 9)
111mulid1i 10230 . . . 4 (9 · 1) = 9
1210, 11oveq12i 6821 . . 3 ((9 · (10 · 1)) + (9 · 1)) = ((10 · 9) + 9)
136, 12eqtri 2778 . 2 (9 · ((10 · 1) + 1)) = ((10 · 9) + 9)
14 dfdec10 11685 . . 3 11 = ((10 · 1) + 1)
1514oveq2i 6820 . 2 (9 · 11) = (9 · ((10 · 1) + 1))
16 dfdec10 11685 . 2 99 = ((10 · 9) + 9)
1713, 15, 163eqtr4i 2788 1 (9 · 11) = 99
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1628  (class class class)co 6809  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129  9c9 11265  cdc 11681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-om 7227  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-ltxr 10267  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-dec 11682
This theorem is referenced by:  3dvds2dec  15254  3dvds2decOLD  15255  1259lem3  16038
  Copyright terms: Public domain W3C validator