Theorem 9t11e99 11859

Description: 9 times 11 equals 99. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9t11e99	⊢ (9 · ;11) = ;99

Proof of Theorem 9t11e99

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 11296	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
2		10nn0 11704	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 11492	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
4		ax-1cn 10182	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4	mulcli 10233	. . . 4 ⊢ (;10 · 1) ∈ ℂ
6	1, 5, 4	adddii 10238	. . 3 ⊢ (9 · ((;10 · 1) + 1)) = ((9 · (;10 · 1)) + (9 · 1))
7	3	mulid1i 10230	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 1) = ;10
8	7	oveq2i 6820	. . . . 5 ⊢ (9 · (;10 · 1)) = (9 · ;10)
9	1, 3	mulcomi 10234	. . . . 5 ⊢ (9 · ;10) = (;10 · 9)
10	8, 9	eqtri 2778	. . . 4 ⊢ (9 · (;10 · 1)) = (;10 · 9)
11	1	mulid1i 10230	. . . 4 ⊢ (9 · 1) = 9
12	10, 11	oveq12i 6821	. . 3 ⊢ ((9 · (;10 · 1)) + (9 · 1)) = ((;10 · 9) + 9)
13	6, 12	eqtri 2778	. 2 ⊢ (9 · ((;10 · 1) + 1)) = ((;10 · 9) + 9)
14		dfdec10 11685	. . 3 ⊢ ;11 = ((;10 · 1) + 1)
15	14	oveq2i 6820	. 2 ⊢ (9 · ;11) = (9 · ((;10 · 1) + 1))
16		dfdec10 11685	. 2 ⊢ ;99 = ((;10 · 9) + 9)
17	13, 15, 16	3eqtr4i 2788	1 ⊢ (9 · ;11) = ;99

Syntax hints:   = wceq 1628  (class class class)co 6809  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129  9c9 11265  ;cdc 11681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-om 7227  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-ltxr 10267  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-dec 11682

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  15254  3dvds2decOLD  15255  1259lem3  16038