MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  9t5e45 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 9t5e45 11617
Description: 9 times 5 equals 45. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
9t5e45 (9 · 5) = 45

Proof of Theorem 9t5e45
StepHypRef Expression
1 9nn0 11267 . 2 9 ∈ ℕ0
2 4nn0 11262 . 2 4 ∈ ℕ0
3 df-5 11033 . 2 5 = (4 + 1)
4 9t4e36 11616 . 2 (9 · 4) = 36
5 3nn0 11261 . . 3 3 ∈ ℕ0
6 6nn0 11264 . . 3 6 ∈ ℕ0
7 eqid 2621 . . 3 36 = 36
8 3p1e4 11104 . . 3 (3 + 1) = 4
9 5nn0 11263 . . 3 5 ∈ ℕ0
101nn0cni 11255 . . . 4 9 ∈ ℂ
116nn0cni 11255 . . . 4 6 ∈ ℂ
12 9p6e15 11575 . . . 4 (9 + 6) = 15
1310, 11, 12addcomli 10179 . . 3 (6 + 9) = 15
145, 6, 1, 7, 8, 9, 13decaddci 11531 . 2 (36 + 9) = 45
151, 2, 3, 4, 144t3lem 11582 1 (9 · 5) = 45
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  (class class class)co 6610  1c1 9888   · cmul 9892  3c3 11022  4c4 11023  5c5 11024  6c6 11025  9c9 11028  cdc 11444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-ltxr 10030  df-sub 10219  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-dec 11445
This theorem is referenced by:  9t6e54  11618  1259lem1  15769  2503lem2  15776  4001lem1  15779  log2ublem3  24588
  Copyright terms: Public domain W3C validator