Theorem aaliou3lem1 24296

Description: Lemma for aaliou3 24305. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
aaliou3lem.a	⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6820	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑐 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
2	1	oveq2d 6829	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴)) = ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴)))
3	2	oveq2d 6829	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))))
4		aaliou3lem.a	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))
5		ovex 6841	. . . 4 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6444	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐺‘𝐵) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))))
7	6	adantl 473	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝐵) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))))
8		2rp 12030	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9		simpl 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 11543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11		faccl 13264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 11673	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
14	13	znegcld 11676	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
15		rpexpcl 13073	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
16	8, 14, 15	sylancr 698	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
17		halfre 11438	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
18		halfgt0 11440	. . . . . 6 ⊢ 0 < (1 / 2)
19	17, 18	elrpii 12028	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
20		eluzelz 11889	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
21		nnz 11591	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
22		zsubcl 11611	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
23	20, 21, 22	syl2anr 496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
24		rpexpcl 13073	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
25	19, 23, 24	sylancr 698	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
26	16, 25	rpmulcld 12081	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ+)
27	26	rpred 12065	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ)
28	7, 27	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  1c1 10129   · cmul 10133   − cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  ℕcn 11212  2c2 11262  ℕ₀cn0 11484  ℤcz 11569  ℤ_≥cuz 11879  ℝ⁺crp 12025  ↑cexp 13054  !cfa 13254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255

This theorem is referenced by:  aaliou3lem2  24297  aaliou3lem3  24298